幻灯片 1第二节 空间图形的基本关系与公理
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幻灯片 2三年9考 高考指数:★★★
1．理解空间直线、平面位置关系的定义；
2．了解可以作为推理依据的公理和定理；
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
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幻灯片 31．点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．
2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力.
3．从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题.
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幻灯片 41.空间图形的基本位置关系
(1)空间点与直线的位置关系有两种：___________和________
______.
(2)空间点与平面的位置关系有两种：___________和________
______.
点在直线上
点在直
线外
点在平面内
点在平
面外
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幻灯片 5(3)空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线：在___________内，而且没有_______的两条直线.
②相交直线：________________的两条直线.
③异面直线：______________________的两条直线.
(4)空间直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内：直线和平面有________公共点.
②直线和平面相交：直线和平面___________公共点.
③直线和平面平行：直线和平面_______公共点.
同一个平面
公共点
只有一个公共点
不同在任何一个平面内
无数个
只有一个
没有
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幻灯片 6(5)空间平面与平面的位置关系有两种：
①平行平面：两个平面_______公共点.
②相交平面：两个平面不重合，并且_____公共点.
没有
有
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幻灯片 7【即时应用】
(1)思考：若a α,b β,则a,b就一定是异面直线吗？
提示：不一定，可能存在平面γ,使a γ，b γ.
(2)思考：垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是怎样
的？
提示：可能平行，可能相交，也可能异面.
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幻灯片 8(3)两个不重合的平面可把空间分成________部分．
【解析】当两平面平行时可分为3部分；当两平面相交时分为4部分．
答案：3或4
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幻灯片 92.空间图形的公理及等角定理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的
____在一个平面内,
那么这条直线上
________都在这个
平面内（即直线
________）
公理2
经过不在同一条直线
上的三点，________
一个平面（即可以确
定一个平面）
若A、B、C三点不共
线,则_________一
个平面α使A∈α,
B∈α,C∈α
两点
所有的点
在平面内
有且只有
有且只有
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幻灯片 10如果两个不重合的
平面____________,
那么它们_________
一条通过这个点的
公共直线
有一个公共点
有且只有
若A∈α,A∈β,
则______________
α∩β=l且A∈l
平行于同一条直线
的两条直线_____
平行
若a∥b，b∥c,
则_______
a∥c
空间中，如果两个
角的两条边分别对
应平行，那么这两
个角相等或互补
若AO∥A′O′,
BC∥_______,则
∠AOB=∠A′O′B′，
∠AOC和∠A′O′B′
互补
B′O′
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幻灯片 11【即时应用】
(1)思考：①公理1、2、3的作用分别是什么？
②你能说出公理2的几个推论吗？
提示：①公理1的作用：(ⅰ)判断直线在平面内；(ⅱ)由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
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幻灯片 12公理3的作用：(ⅰ)判定两平面相交；(ⅱ)作两平面的交线；(ⅲ)证明点共线．
②公理2的三个推论为：
(ⅰ)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
(ⅱ)经过两条相交直线，有且只有一个平面；
(ⅲ)经过两条平行直线，有且只有一个平面．
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幻灯片 13(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
①经过三点确定一个平面 ( )
②梯形可以确定一个平面 ( )
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( )
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( )
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幻灯片 14【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，
∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，
∴④不正确.
答案：①× ②√ ③√ ④×
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幻灯片 15(3)判断下列说法的正误.(请在括号中填写“√”或“×”)
①如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a，就说平面α,β相交，并记作α∩β=a ( )
②两个不重合的平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于过A点的任意一条直线 ( )
③两个不重合的平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于A点，并记作α∩β=A ( )
④两个不重合的平面ABC与DBC相交于线段BC ( )
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幻灯片 16【解析】根据平面的性质公理3可知①对；对于②，其错误在于“任意”二字上；对于③，错误在于α∩β=A上；对于④，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.
答案：①√ ②× ③× ④×
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幻灯片 17(4)平面α,β相交，在α,β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
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幻灯片 18 3.异面直线所成的角
(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线
l1,l2，这两条相交直线所成的_____________就是异面直线a,b
所成的角.
如果两条异面直线所成的角是______，则称这两条直线互相垂
直.
(2)范围： .
锐角(或直角)
直角
(0, ］
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幻灯片 19【即时应用】
(1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？
提示：不一定．因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确．
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幻灯片 20(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是________.
【解析】画出图形分析.
图①中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面；
图②中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、CD相交.
答案：异面或相交
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幻灯片 21 平面的基本性质及其应用
【方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法
(1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2及其推论．
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幻灯片 22(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(3)证明点共线问题，一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
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幻灯片 23(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
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幻灯片 24【例1】(1)(2012·太原模拟)给出以下四个命题
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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幻灯片 25(2)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角
梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD且BC= AD，BE∥AF且BE= AF，G，H分别为FA，FD的中点.
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
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幻灯片 26【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.
(2)①证明BC、GH平行且相等即可；②证明EF∥CH，由此构成平面，再证点D在该平面上．
【规范解答】(1)选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.
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幻灯片 27(2)①由题设知，FG=GA，FH=HD，
所以GH∥AD且GH= AD,
又BC∥AD且BC= AD，
故GH∥BC且GH=BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
②C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE∥AF且BE= AF，G是FA的中点知，
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幻灯片 28BE∥GF且BE=GF，
所以四边形EFGB是平行四边形，
所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH，
故EC，FH共面.
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.
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幻灯片 29【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB，
DC交于一点”？
【证明】由例题可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边
形，故可得四边形ECHF为平行四边形．
∴EC∥HF，且EC= DF．
∴四边形ECDF为梯形．
∴FE，DC交于一点，设FE∩DC=M．
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幻灯片 30∵M∈FE，FE 平面BAFE，
∴M∈平面BAFE．
同理M∈平面BADC．
又平面BAFE∩平面BADC=BA，
∴M∈BA．∴FE,AB,DC交于一点．
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幻灯片 31【反思·感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用．
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幻灯片 32【变式备选】如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CD上的点，设EG与FH交于点P．求证：P、A、C三点共线．
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幻灯片 33【证明】∵EG∩FH=P，P∈EG，EG 平面ABC，
∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC=AC.
∴P∈AC.∴P、A、C三点共线．
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幻灯片 34 空间中两直线的位置关系
【方法点睛】判定直线位置关系的方法
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.
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幻灯片 35【例2】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下
列命题中，错误的为( )
(A)AC⊥BD
(B)AC∥截面PQMN
(C)AC=BD
(D)异面直线PM与BD所成的角为45°
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幻灯片 36【解题指南】结合图形，根据有关的知识逐一进行判断．注意
本题选择的是错误选项！
【规范解答】选C.因为四边形PQMN为正方形，所以PQ∥MN，又
PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ∥平面ADC.
又平面BAC∩平面DAC=AC，所以PQ∥AC.
同理可证QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A
正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与
BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误.
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幻灯片 37【反思·感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因．
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幻灯片 38【变式训练】1.已知m、n为异面直线，m 平面α,n 平面
β,α∩β=l,则l( )
(A)与m、n都相交
(B)与m、n中至少一条相交
(C)与m、n都不相交
(D)至多与m、n中的一条相交
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幻灯片 39【解析】选B.若l与m、n都不相交，则由于l与m同在α内，l与n同在β内，所以l∥m,l∥n,从而，m∥n与m、n是异面直线矛盾.因此，l与m、n两条直线至少有一条相交.
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幻灯片 402.设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
(A)若AC与BD共面，则AD与BC共面
(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
(C)若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
(D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
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幻灯片 41【解析】选D.对于A，易知点A，B，C，D共面，故AD与BC共面，所以A正确；对于B，假设AD与BC不异面，则可得AC与BD共面，与题意矛盾，故B正确；对于C，如图，E为BC中点，易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC，故C正确；
对于D，当四点构成空间四面体时，只能推出
AD⊥BC，但二者不一定相等，故D错误.
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幻灯片 42 异面直线所成的角
【方法点睛】
1.求异面直线所成的角的方法
一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2.求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线，得到相交直线；
(2)证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；
(3)算：通过解三角形，求出该角．
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幻灯片 43【例3】(1)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．求证：直线ME与BN是两条异面直线．
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幻灯片 44(2)(2012·西安模拟)已知三棱锥A—BCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.
【解题指南】(1)采用反证法证明；(2)取AC中点P，连接PM，PN，利用三角形中位线性质可得PM∥AB，PN∥CD，从而得∠MPN的大小，然后解三角形可得所求角.
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幻灯片 45【规范解答】(1)假设直线ME与BN共面，
则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN．
由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF．
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．
线EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN．又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线.
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幻灯片 46(2)如图，取AC的中点P.连接PM、PN，
则PM∥AB，且PM= AB.
PN∥CD，且PN= CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角(或所
成角的补角).
则∠MPN=60°或∠MPN=120°,
若∠MPN=60°,
因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).
A
B
C
D
M
N
P
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幻灯片 47又因为AB=CD，所以PM=PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.
所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
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幻灯片 48【互动探究】把本例第(2)题中的“直线AB与CD成60°角”改为“AB⊥CD”，结果如何？
【解析】由题意得∠MPN=90°.
∴△MPN是等腰直角三角形.∴∠PMN=45°，
故直线AB和MN所成的角为45°.
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幻灯片 49【反思·感悟】1.证明两直线为异面直线时可利用结论“过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线”；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立．
2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围.
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幻灯片 50【变式备选】在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC= 且
AD⊥BC，对角线 求AC和BD所成的角．
【解析】如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连
接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理知
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幻灯片 51EF∥AC，且EF= GE∥BD，且 GE和EF所成的锐角
(或直角)就是AC和BD所成的角.
同理， GH∥AD，HF∥BC，
又AD⊥BC，∴∠GHF=90°，
∴GF2=GH2+HF2=1，
在△EFG中，EG2+EF2=1=GF2，
∴∠GEF=90°，
即AC和BD所成的角为90°.
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幻灯片 52【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·上海高考改编)
已知ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正
四棱柱，高AA1=2，求
(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；
(2)四面体AB1D1C的体积.
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幻灯片 53【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；(2)利用割补法求体积即可．
【规范解答】(1)连接BD，AB1，B1D1，AD1.………………1分
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幻灯片 54∵BD∥B1D1,∴异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1(或其补角)，
记∠AB1D1=θ,………………………………………………3分
由已知条件得AB1=AD1=
在△AB1D1中，由余弦定理得
cosθ= ……………………………6分
∴异面直线BD与AB1所成角的余弦值为 ……………7分
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幻灯片 55(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积
………………………………………………………………12分
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幻灯片 56【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 57----
幻灯片 581.(2011·四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列
命题正确的是( )
(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
(B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
(C)l1∥l2，l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
(D)l1，l2,l3共点⇒l1，l2,l3共面
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幻灯片 59【解析】选B.对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线不
一定平行，如图
l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角
可知，∵l2∥l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等，故
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幻灯片 60l1⊥l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.
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幻灯片 612.(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l α，
则( )
(A)α内的所有直线与l异面
(B)α内不存在与l平行的直线
(C)α内存在唯一的直线与l平行
(D)α内的直线与l都相交
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幻灯片 62【解析】选B.由题意可得直线l与平面α相交，如图:
对A，由于α内所有不过交点的直线与l异面，故A错误；对B，如果α内存在与l平行的直线，则直线l与α平行，直线不存在，故B正确；对C，可得直线l与α平行，与题设不符，故C错误；对D，α内所有不过交点的直线与l异面，故D错误.
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幻灯片 633.(2011·大纲版全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1 的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.
【解析】取A1B1的中点M，连接EM,AM,AE，则∠AEM就是异面直
线AE与BC所成的角.设正方体棱长为2，则在△AEM中，
cos∠AEM=
答案：
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幻灯片 644.(2012·郑州模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、
F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且
求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)三直线FH、EG、AC共点.
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幻灯片 65【解析】(1)连接EF、GH.
由E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF BD，又
∴HG BD，
∴EF∥HG且EF≠HG.
∴EF、HG可确定平面α,即E、F、G、H四点共面.
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幻灯片 66(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.
∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，
∵点O∈直线FH，直线FH 面ACD，
∴点O∈平面ACD.
同理点O∈平面ABC.
又∵面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC(公理3).
∴直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点.
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幻灯片 67----
幻灯片 68----
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