幻灯片 1第四节 垂直关系
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幻灯片 2三年20考 高考指数:★★★★
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
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幻灯片 31.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；
2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等.
3.通过二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.
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幻灯片 41.直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线和一个平面内的______一条直线都垂
直，那么称这条直线和这个平面垂直.
任何
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幻灯片 5(2)定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一条直线和
一个平面内的两
条相交直线都垂
直，那么该直线
与此平面垂直.
性
质
定
理
如果两条直线
同垂直于一个
平面，那么这
两条直线平行.
α
a
b
A
l
a
α
b
⇒a∥b
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？
提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.
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幻灯片 7(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_______.
【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.
答案：垂直
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幻灯片 8(3)判断下列命题的真假.(在括号内填“真”,“假”)
①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α. ( )
②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线. ( )
③如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直.
( )
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幻灯片 9【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②不对；③正确.
答案：①假 ②假 ③真
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幻灯片 102.二面角
二面角的定义
二面角的度量——二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平
面内分别作________棱的两条射线，这两条
射线所成的角叫作二面角的平面角.
从一条直线出发的___________所组成的图形
叫作二面角.这条直线叫作二面角的____，这
两个半平面叫作二面角的____.
两个半平面
棱
面
垂直于
平面角是_____的二面角叫作直二面角.
直角
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幻灯片 11【即时应用】
思考：二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置
有关吗？
提示:如图，用两个垂直于棱的平面γ1,γ2
去截一个二面角α—a—β,由等角定理知，
所截得的两个角θ1和θ2相等，这说明二面
角的平面角与在二面角的棱上选的点的位置无关.
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幻灯片 123.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交，如果所成的二面角是__________，
就说这两个平面互相垂直.
直二面角
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幻灯片 13(2)定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一个平
面经过另一
个平面的一
条_____，那
么这两个平
面互相垂直.
垂线
α
A
B
⇒β⊥α
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幻灯片 14文字语言
图形语言
符号语言
性
质
定
理
如果两个平面
互相垂直，那
么在一个平面
内垂直于它们
_____的直线
垂直于另一个
平面.
交线
β
B
A
α
⇒ AB⊥α
M
N
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幻灯片 15【即时应用】
(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？
提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.
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幻灯片 16(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)
【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.
答案：必要不充分
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幻灯片 17(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.
【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，
BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB=90°.设正方
形边长为1，则 所以DB=1，
故△ADB为等边三角形，所以∠DAB=60°.
答案：60°
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幻灯片 18 直线与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.证明线面垂直的常用方法
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幻灯片 192.线面垂直性质的应用
当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，体现了“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化.
【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.
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幻灯片 20【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )
(A)CD∥平面PAF
(B)DF⊥平面PAF
(C)CF∥平面PAB
(D)CF⊥平面PAD
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幻灯片 21(2)(2012·南昌模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.
①求证：PC⊥平面BDE；
②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、
DQ的位置关系，并证明你的结论；
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.
C
P
E
Q
A
B
D
·
·
·
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幻灯片 22【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.
(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可；③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.
【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB，故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D.
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幻灯片 23(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，
∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC，
又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE.
②由①得，PC⊥BD，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.
又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC.
∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.
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幻灯片 24③∵PA=AB=2,∴PB=BC=
∵AB⊥BC,∴ ∴PC=4，CE=2，
且
∵△CDE∽△CPA，∴
∴
由②知：BD⊥DE.
∴
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幻灯片 25【互动探究】本例(2)②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求
证：平面BDQ⊥平面PAC.”则如何求解？
【证明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.
又BD 平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.
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幻灯片 26【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.
2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.
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幻灯片 27【变式备选】1.(2012·延安模拟)已知△ABC
中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，
求证：AD⊥平面SBC.
【证明】∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD，
又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC.
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幻灯片 282.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，
AA1＝2，E是侧棱BB1的中点.
(1)求证：A1E⊥平面ADE；
(2)求三棱锥A1－ADE的体积.
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幻灯片 29【解析】(1)由勾股定理得：
∴A1A2＝A1E2＋AE2，
∴∠AEA1=90°，∴A1E⊥AE.
∵AD⊥平面AA1B1B，A1E 平面AA1B1B，
∴A1E⊥AD，又AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.
(2)由题意得
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幻灯片 30 平面与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】
1.证明面面垂直的方法
面面垂直的证明综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如下图，
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
性质
判定
性质
判定
性质
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幻灯片 31其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.
2.面面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
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幻灯片 32【例2】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，
BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，
E、F分别是AC、AD上的动点，且
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ
的值，如果不存在，说明理由.
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幻灯片 33【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由
知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由CD⊥平面ABC得出BE⊥CD,可知,要想平面BEF⊥平面ACD,
只需BE⊥AC,即寻求此时满足条件的λ的值是否存在.
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幻灯片 34【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.
证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
在△ACD中 =λ(0<λ<1)，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
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幻灯片 35(2)∵CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，∴BE⊥CD，
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BDtan60°＝
则
当BE⊥AC时，
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幻灯片 36则 时，BE⊥AC，
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD，
∵BE 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.
所以存在 时，平面BEF⊥平面ACD.
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幻灯片 37【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.
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幻灯片 38【变式训练】(2012·海口模拟)正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、AF为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示.
(1)求证：AP⊥EF；
(2)求证：平面APE⊥平面APF.
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幻灯片 39【证明】(1)由ABCD是正方形，所以在原图中
AB⊥BE，AD⊥DF，
折叠后有AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF=P，
所以AP⊥平面PEF，EF 平面PEF，所以AP⊥EF.
(2)由原图可知，折叠后EP⊥AP，
EP⊥PF，AP∩PF=P，所以EP⊥平面APF，
又EP 平面APE，所以平面APE⊥平面APF.
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幻灯片 40【变式备选】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB;
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上
找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，
并证明你的结论.
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幻灯片 41【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，
∴PG⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB,
∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
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幻灯片 42(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连接DF，
∴FH⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.
∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.
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幻灯片 43 垂直关系的综合问题
【方法点睛】垂直关系综合题的解题思路
(1)对于三种垂直的综合问题，要注意通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于垂直与平行结合的问题，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)对于垂直与体积结合的问题，在求棱锥的体积时，可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段，进而求得体积.
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幻灯片 44【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；
(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积.
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幻灯片 45【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP；(2)证
BC⊥平面APC；(3)通过VD－BCM＝VM－BCD求体积.
【规范解答】(1)∵M为AB中点，D为PB中点，
∴DM∥AP，
又DM 平面APC，AP 平面APC.
∴DM∥平面APC.
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幻灯片 46(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，
∴MD⊥PB，又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB
又AP⊥PC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，
∴BC⊥平面APC.
又BC 平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.
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幻灯片 47(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10
又BC＝4，PC＝
∴
又
∴VD－BCM＝VM－BCD＝
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幻灯片 48【反思·感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应用，解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化.
2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现，以做到规范解题.
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幻灯片 49【变式训练】1.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
(A)BC∥平面PDF
(B)DF⊥平面PAE
(C)平面PDF⊥平面PAE
(D)平面PDE⊥平面ABC
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幻灯片 50【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
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幻灯片 512.(2012·宜春模拟)如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD
∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，
现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF.
(1)求证：AD∥平面BCE；
(2)求证：AB⊥平面BCE；
(3)求三棱锥C-ADE的体积.
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幻灯片 52【解析】(1)由题意知AF∥BE，∴AF∥平面BCE，同理，
∵DF∥CE，∴DF∥平面BCE.AF∩DF=F，AF 平面ADF，DF
平面ADF，∴平面ADF∥平面BCE.
∵AD 平面ADF，∴AD∥平面BCE.
(2)在图甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，
∴在图乙中CE⊥EF.
∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF，
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幻灯片 53∴CE⊥平面ABEF，∴CE⊥AB，又AB⊥BE，
∴AB⊥平面BCE.
(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面CDFE，AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，
又AB=CE=2，∴
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幻灯片 54【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·辽宁高考)如图，四边形ABCD为正
方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA,
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥
P-DCQ的体积的比值.
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幻灯片 55【解题指南】(1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥平面DCQ；
(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.
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幻灯片 56【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD，QA 平面PDAQ，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，…………………………………………2分
又PQ 平面PDAQ，所以PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得
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幻灯片 57则PQ⊥QD.……………………………………………………5分
又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ.……………………………6分
(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
所以棱锥Q-ABCD的体积 …………………………8分
由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，
而PQ= △DCQ的面积为
所以棱锥P-DCQ的体积 …………………………11分
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.……12分
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幻灯片 58【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 59----
幻灯片 601.(2012·泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中的真命题是( )
(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
(B)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
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幻灯片 61【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m β，又n⊥β，故m⊥n，即A正确；如图(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α,n⊥β,
α⊥β，但m,n相交，故D错.
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幻灯片 622.(2012·沈阳模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,
m β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
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幻灯片 63【解析】选B.当α∥β,l⊥α时，有l⊥β,
又m β,故l⊥m.
反之，当l⊥m,m β时，不一定有l⊥β,
故α∥β不一定成立.
因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.
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幻灯片 643.(2012·珠海模拟)设α、β是空间中两个不同的平面，m,
n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;
③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
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幻灯片 65【解析】选C.由题设根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知：②③④⇒①正确；①③④⇒②正确，①②④⇒③不正确，①②③⇒④不正确，故选C.
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幻灯片 664.(2012·桂林模拟)设l,m,n为三条不同的直线，α为一个平
面，给出下列命题
①若l⊥α，则l与α相交
②若m α,n α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n
其中正确命题的序号为_________.(注：把你认为正确的命题
的序号都填上)
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幻灯片 67【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n,又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由m⊥α,n⊥α知m∥n,故l∥n,故④正确.
答案：①③④
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幻灯片 685.(2012·咸阳模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.
(1)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面SAC.
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幻灯片 69【证明】(1)连接OE，由条件可得SA∥OE.
因为SA 平面BDE，OE 平面BDE,所以SA∥平面BDE.
(2)由已知可得，SB=SD，O是BD的中点，所以BD⊥SO，
又因为四边形ABCD是正方形，
所以BD⊥AC.
因为AC∩SO=O，所以BD⊥平面SAC.
又因为BD 平面BDE，所以
平面BDE⊥平面SAC.
S
E
C
B
A
D
O
·
·
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幻灯片 70----
幻灯片 71----
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