幻灯片 1第五节 空间几何体的面积与体积
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幻灯片 2三年25考 高考指数:★★★★
了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
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幻灯片 31.从近几年的高考来看，本节内容成为高考的一个热点，主要考查：(1)常见几何体的侧面积、表面积与体积；(2)几何体中有关截面的问题；(3)结合三视图求空间几何体或简单组合体的表面积或体积．
2.从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题的形式出现，难度不大，属容易题．
3.本部分内容的难点是与球有关的组合体问题．
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幻灯片 41.简单几何体的侧面积
(1)S圆柱侧=______(r为底面半径，l为侧面母线长).
(2)S圆锥侧=_____(r为底面半径，l为侧面母线长).
(3)S圆台侧=___________(r1、r2分别为上、下底面半径，l为
母线长).
(4)S直棱柱侧=____(c为底面周长,h为高).
(5)S正棱锥侧= (c为底面周长，h′为斜高).
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
ch
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幻灯片 5(6)S正棱台侧= (c′、c分别为上、下底面周长,
h′为斜高).
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考：①四棱柱、四棱锥、四棱台是由多少个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？
②如何计算多面体的表面积?
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幻灯片 7提示：①四棱柱是由6个平面图形围成的多面体，它的展开图是4个平行四边形及两个全等的四边形；四棱锥是由5个平面图形围成的多面体，它的展开图是4个三角形及一个四边形；四棱台是由6个平面图形围成的多面体，它的展开图是4个梯形及两个相似的四边形.
②因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和.
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幻灯片 8(2)棱长为2的正四面体的表面积为_______．
【解析】正四面体的表面积为
答案：
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幻灯片 9(3)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积=_______cm2.
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幻灯片 10【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面半径为3，
母线长l=5,
∴S侧= ×2π×3×5=15π (cm2).
答案：15π
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幻灯片 112.柱体、锥体、台体的体积
(1)V柱体=____(S为柱体的底面积，h为柱体的高).
(2)V锥体= (S为锥体的底面积，h为锥体的高).
(3)V台体= (S上、S下分别为台体的上、
下底面积，h为高).
Sh
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幻灯片 12【即时应用】
(1)思考:对于不规则的几何体应如何求其体积?
提示:求一些不规则几何体的体积时常用割补的方法或转化成已知体积公式的几何体进行求解.
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幻灯片 13(2)底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为______.
【解析】由题意，圆柱的高为4，则
V=π·22·4=16π.
答案：16π
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幻灯片 14(3)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是_____.
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幻灯片 15【解析】由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为3，
∴V=V正方体+V正四棱锥=33+ ×9×1=30．
答案：30
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幻灯片 163.球的表面积和体积
若球的半径为R，则
(1)S球面=______.
(2)V球=_______.
4πR2
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幻灯片 17【即时应用】
(1)已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长为___.
【解析】设正方体的棱长为a,外接球的半径为R，
则2R= a,∴R= ,由题意知
答案：
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幻灯片 18(2)设三棱锥的3条侧棱两两垂直，其长度分别为2、4、4，
则其外接球的表面积为______.
【解析】构造长方体解题，设外接球半径为R，则
(2R)2=22+42+42=36,∴R2=9,∴S球=4πR2=36π.
答案：36π
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幻灯片 19(3)一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大到原来的
______倍；体积扩大到原来的______倍.
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V，则扩
大后的半径为3R，表面积为S′表，体积为V′,
答案：9 27
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幻灯片 20 几何体的展开与折叠
【方法点睛】
1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法
常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离．
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幻灯片 212.解决折叠问题的技巧
解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化．
【提醒】对折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化．
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幻灯片 22【例1】(1)(2012·合肥模拟)圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形,则圆柱的表面积是( )
(2)(2012·南京模拟)如图，已知正三
棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，
高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着
正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最
短路线的长为______cm.
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幻灯片 23(3)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_____.
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幻灯片 24【解题指南】(1)根据侧面展开图求出圆柱的底面半径和高;
(2)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(3)将平
面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关公式可求得体积．
【规范解答】(1)选B.设圆柱的底面半径为r,高为h,
则由题意得 解得
∴S圆柱表=2πrh+2πr2
=16+
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幻灯片 25(2)将正三棱柱沿棱AA1两次展开，得到如图所示的矩形，可
知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为
答案：13
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幻灯片 26(3)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，
斜高为 ，连接顶点和底面中心即为高，可得高为 ，所
以体积为
答案：
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幻灯片 27【互动探究】本例(3)中条件不变，求该多面体的表面积．
【解析】由题意知，该四棱锥的侧面为边长为1的等边三角
形，底面为边长为1的正方形，故其表面积为
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幻灯片 28【反思·感悟】1.求几何体表面上两点间的最短距离问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上，解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
2.折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了转化的思想，是解决立体几何问题时常用的方法．
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幻灯片 29【变式备选】如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC为等边
三角形，AA′⊥平面ABC，AB=3,AA′=4，M为AA′的中点，P是
BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为
设这条路线与CC′的交点为N．
(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)求PC与NC的长．
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幻灯片 30【解析】(1)该三棱柱的侧面展开图是边长分别为4和9的矩形，故对角线长为
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图所示．
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幻灯片 31设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2.
∵MP= ，MA=2，AC=3，
∴x=2,即PC=2.
又NC∥AM，
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幻灯片 32 几何体的表面积
【方法点睛】
1.几何体表面积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；
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幻灯片 33(3)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解；
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幻灯片 342.旋转体侧面积的求法
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.
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幻灯片 35【例2】(1)(2011·北京高考改编)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
(A)8 (B) (C)10 (D)
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幻灯片 36(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____.
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幻灯片 37【解题指南】(1)由三视图得到几何体的形状，然后根据图中数据及面积公式分别计算出四个面的面积即可．
(2)先将三视图还原为实物图，并画出直观图，然后将三视图中的条件转化到直观图中求解.
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幻灯片 38【规范解答】(1)选C.由三视图可得该四面体的直观图，如图所示，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为S△ABC=6，S△PAB=8，S△PBC=62，S△PAC=10.
故最大面积为10.
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幻灯片 39(2)由三视图知，该几何体由上、
下两个长方体组合而成.下面长方
体的长、宽、高分别为8，10，2；
上面长方体的长、宽、高分别为6，
2，8，如图，
∴S表=2×10×8+2×(8+10)×2+2×(2+6)×8=360.
答案：360
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幻灯片 40【互动探究】本例(2)中的条件不变，如何求该几何体的体积?
【解析】结合该几何体的形状,
易知体积V=2×6×8+2×8×10=256.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
2.注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的,解题中要注意将空间图形转化为平面图形这一方法的运用.
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幻灯片 42【变式备选】1.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )
(A)18π (B)30π (C)33π (D)40π
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幻灯片 43【解析】选C.由三视图知该几何体由一个圆锥和一个半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.
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幻灯片 442.如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为_____.
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幻灯片 45【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高为
∴圆柱的底面半径为r，高为
答案：
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幻灯片 46 几何体的体积
【方法点睛】
1.求几何体体积的思路
(1)若所给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
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幻灯片 472.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为
【提醒】在立体几何的计算题中，要有必要的推理．
S′=S
S′=0
V柱体=Sh
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幻灯片 48【例3】(1)(2011·新课标全国卷)已知矩形ABCD的顶点都在
半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC= ,则棱锥O-ABCD的
体积为_________.
(2)已知某几何体的俯视图是如图所示
的矩形，正视图是一个底边长为8，高
为4的等腰三角形，侧视图是一个底边
长为6，高为4的等腰三角形．
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幻灯片 49①求该几何体的体积V；
②求该几何体的侧面积S．
【解题指南】(1)画出图形，利用球半径、小圆半径及球心与小圆圆心连线所构成的直角三角形求出棱锥的高，然后求体积.
(2)根据三视图可得到几何体的直观图，结合相应数据及公式求解即可．
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幻灯片 50【规范解答】(1)如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平
面，垂足为O′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB=4，
O′B= ,可得OO′=2,
∴
答案：
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幻灯片 51(2)由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底
面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD．
①V= ×(8×6)×4=64.
②该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边
上的高为 另两个侧面PAB、PCD也是全等的
等腰三角形，AB边上的高为
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幻灯片 52【互动探究】本例第(2)题条件不变，画出该几何体的直观图.
【解析】直观图如图所示．
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幻灯片 53【反思·感悟】1.求几何体的体积关键是确定几何体的形状及相关数据，利用公式求解.
2.求与球有关的组合体的体积时，常遇到的困难是弄不清几何体中元素与球半径的关系，这往往会导致解题错误.
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幻灯片 54【变式备选】1.如图，在多面体ABCDEF中，
已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且
△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，
EF=2，则该多面体的体积为( )
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幻灯片 55【解析】选A．如图所示，过A、B两点
分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、
N，连接DM、CN，可得DM⊥EF、CN⊥EF，
多面体可分为三部分，故多面体的体积为
VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC，
∵NF= ，BF=1，∴BN=
作NH⊥BC于点H，则H为BC的中点，则
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幻灯片 56----
幻灯片 572.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,
∠ADC=135°,AB=5,CD= ,AD=2,
求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何
体的表面积及体积.
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幻灯片 58【解析】四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体,如图所示:
设CE=r1,AB=r2,CD=l1,BC=l2,DE=h1,AE=h2,
则r1=2,r2=5,l1= l2=5,h1=2,h2=4.
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1
=π×52+π(2+5)×5+π×2×
=25π+35π+ π=60π+ π.
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幻灯片 59----
幻灯片 60【易错误区】球的组合体中求体积时常见的错误
【典例】(2011·辽宁高考)已知球的直径SC=4，A，B是该球
球面上的两点，AB= ，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC
的体积为( )
(A)3 (B)2 (C) (D)1
【解题指南】根据所给条件画出图形，将三棱锥S-ABC分为上下两部分，结合三棱锥的体积公式求解.
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幻灯片 61【规范解答】选C.如图，由题意可知，在
三棱锥S-ABC中，△SAC和△SBC都是有一
个角为30°的直角三角形，其中AB= ，
SC=4，所以SA=SB= ，AC=BC=2.作BD
⊥SC于D，连接AD，可得SC⊥平面ABD.
又AD=BD= ，故等边△ABD的面积为S△ABD=
所求棱锥S-ABC的体积等于以△ABD为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC，故VS-ABC=
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幻灯片 62【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 63----
幻灯片 641.(2011·湖南高考)如图是某几何
体的三视图，则该几何体的体积
为( )
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幻灯片 65【解析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为
的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱，故其体积
为
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幻灯片 662.(2011·陕西高考)某几何体的
三视图如下，则它的体积是( )
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幻灯片 67【解析】选A.由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，
是由一个正方体中间挖去一个圆锥后得到的，所以它的体积是
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幻灯片 683.(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
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幻灯片 69【解析】由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，其中下
面是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底
面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：V=V圆锥+V长方体
= π×12×3+3×2×1=6+π.
答案：6+π
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幻灯片 704.(2012·咸阳模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.
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幻灯片 71【解析】由题设知:长方体ABCD-A1B1C1D1
截去棱柱AA1E-BB1F(E、F分别为AD、BC的
中点)所剩下的部分是该几何体,其中
AB=15,AD=10,AA1=20,它的体积是
10×15×20- ×20×5×15=2 250.
答案：2 250
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幻灯片 725.(2012·南昌模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位长度为:cm):
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幻灯片 73(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
【解析】(1)由题图知该几何体是一个上面是正四棱锥,下面是
一个正方体的组合体.
且正四棱锥的底面边长为4 cm,正四棱锥的高为2 cm,所以体积
V= ×4×4×2+4×4×4= (cm3).
(2)由三视图知,四棱锥的侧面三角形的高
所以几何体的表面积为
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幻灯片 74----
幻灯片 75----
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