幻灯片 1第七节 空间直角坐标系、向量的坐
标表示和空间向量基本定理
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幻灯片 2三年4考 高考指数:★★
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量线性运算的坐标表示.
4.掌握空间向量数量积的坐标表示.
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幻灯片 31.空间直角坐标系是用向量法解决立体几何问题的基础,属了解内容,一般不单独命题.
2.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹角、距离问题的基础.
3.通过求空间点的坐标考查空间想象能力,通过求两点间距离考查计算能力.
4.空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择题或填空题为主.
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幻灯片 41.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的建立(如图)
(ⅰ)坐标系为_____系;
右手
②
③
①
④
·
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幻灯片 5(ⅱ)④指_____,记为__;
(ⅲ)①指__轴,②指__轴,③指__轴;
(ⅳ)①和②,②和③,③和①确定的平面分别指____平面, ____
平面, ____平面.
(2)空间直角坐标系中的点的坐标表示
类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示,在空间直角坐标系中,
用一个三元有序数组来刻画空间点的位置,任意一点P的坐标记
为_______.
原点
O
x
y
z
xOy
yOz
xOz
(x,y,z)
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考:空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？
提示：三个坐标平面把空间分为八部分.
(2)xOz平面内点的坐标的特点是________.
【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖不确定.
答案：纵坐标为0
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幻灯片 7(3)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为______________.
【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.
答案：(-5,-3,-1)
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幻灯片 82.空间两点间的距离公式
(1)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长
d=__________.
(2)空间两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)间的距离
|AB|=__________________________.
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?
提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.
(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB的中点到原点的距离为________.
【解析】由中点坐标公式可得线段AB的中点为(-2,1,1),故到原点的距离为
答案：
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幻灯片 10(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P′，则
=_________.
【解析】由题意得P′(1，-1，1),
∴
答案：2
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幻灯片 113.空间向量的标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理
(1)在给定的空间直角坐标系中，i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z)，使得a=_________.把___________叫作a的标准正交分解，把______叫作标准正交基. _______叫作空间向量a的坐标，记作a=(x,y,z). __________叫作向量a的坐标表示.
xi+yj+zk
a=xi+yj+zk
i,j,k
(x,y,z)
a=(x,y,z)
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幻灯片 12(2)若b0为b的单位向量，称__________________为向量a在向量
b上的投影.
向量的坐标等于它在_____________上的投影.
(3)空间向量基本定理
如果向量e1,e2,e3是空间三个_______的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.
空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
a·b0=|a|cos〈a,b〉
坐标轴正方向
不共面
基底
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幻灯片 13【即时应用】
(1)思考:空间中的任意三个向量都可以作为空间向量的一个基
底吗？
提示：不可以.只有当三个向量不共面时才可以.
(2)已知a=(2，-1,3)，b＝(-1,4，-2)，c＝(7,5，λ)，若
a,b,c三个向量共面，则实数λ=__________．
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幻灯片 14【解析】由于a,b,c三向量共面，所以存在实数m,n使得
c=ma+nb，即
解得
答案：
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幻灯片 15(3)已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b,
a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下的
坐标为 则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为________．
【解析】由条件得p= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3c，故向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)．
答案：(1,2,3)
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幻灯片 164.空间向量运算的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
(1)a+b=__________________;
(2)a-b=__________________;
(3)λ a= _______________(λ∈R);
(4)a·b=_____________;
(5)|a|=_____=_______________;
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)
x1x2+y1y2+z1z2
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幻灯片 17(6)cos〈a,b〉=__________________________________;
(7)a∥b(b≠0)⇔______⇔
____________;
(8)a⊥b⇔_______⇔_______________.
a=λb
a·b=0
x1x2+y1y2+z1z2=0
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幻灯片 18【即时应用】
(1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则
的夹角θ的大小是________．
(2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为
_________.
(3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则
λμ=_________．
(4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且k a+b与2a-b互相垂直，则k=_________.
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幻灯片 19【解析】(1)由题意知 =(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)，故
所以θ= π．
(2)由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)，
∴｜b-a｜=
∴当t= 时，｜b-a｜取得最小值为 .
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幻灯片 20(3)由a∥b得a=kb，从而得 解得
λ=k= ,μ= ,故λμ= ．
(4)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2)．
所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0，解得k= ．
答案：
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幻灯片 21 求空间相关点的坐标
【方法点睛】
1.建立恰当坐标系的原则
(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；
(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上.
2.求空间中点P的坐标的方法
(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.
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幻灯片 22(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.
3.空间直角坐标系中点的对称规律
已知点P(x,y,z)，则点P关于点、线、面的对称点坐标为：
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幻灯片 23----
幻灯片 24【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐
标为_________.
(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建
立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.
(3)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交
于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,
-1)，求其他七个顶点的坐标.
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幻灯片 25【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小.(3)由题意知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标.
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幻灯片 26【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,
纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).
答案：(2,0,0)
(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在
直线分别为y轴、z轴建立空间直角
坐标系，如图所示.
设AC的中点是D，连接BD，则BD⊥y轴，
且BD= ，
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幻灯片 27∴A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).
(3)由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B的坐标为
(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D的坐标为(2,-3,
-1);点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3,-1)；由于点
A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1
的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).
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幻灯片 28【互动探究】本例(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.
【解析】建立空间直角坐标系,如图所示，则
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幻灯片 29A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0)，
A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2).
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幻灯片 30【反思·感悟】
1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用.
2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同．为方便起见常将尽量多的点落在坐标轴上.
3.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律．
4.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键.
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幻灯片 31【变式备选】已知正四棱锥V-ABCD，O为底面中心，若AB=2,VO=3.试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.
【解析】方法一：∵正四棱锥V-ABCD，O为底面中心，
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幻灯片 32∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD,且VO⊥底面ABCD,
以射线CA为x轴的正方向，射线DB为y轴的正方向，O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
射线OV即为z轴的正方向
∵AB=2,VO=3,∴AC=BD=2 ,
于是A( ,0,0),B(0, ,0),C(- ,0,0),D(0,- ,0),V(0,0,3).
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幻灯片 33方法二：分别以射线DA,DC为x轴和y轴的正方向，D为原点建立空间直角坐标系，
∴射线OV的方向即为z轴的
正方向,
∵AB＝2，VO＝3,
∴AD=CD=2,AC=BD=2 ,
于是A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),O(1,1,0),
D(0,0,0),V(1,1,3).
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幻灯片 34 空间两点间的距离
1.求空间两点间距离的步骤
(1)建立坐标系，写出相关点的坐标；
(2)利用公式求出两点间的距离.
2.两点间距离公式的应用
(1)求两点间的距离或线段的长度；
(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；
(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
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幻灯片 35【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|等于( )
(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13
(2)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在棱CD上．当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.
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幻灯片 36【解题指南】(1)根据空间点在xOz平面上的射影的特点及距离公式求解.(2)确定点P、Q的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识解决.
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幻灯片 37【规范解答】(1)选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故
(2)因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为AB的中点,
所以P( ).
又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，
其中z0∈［0,a］，
故
因此当 时，|PQ|的最小值为 a.
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幻灯片 38【互动探究】本例(2)中,若将“点P为对角线AB的中点”改为
“当点P在对角线AB上运动时”,其余条件不变,则结果如何?
【解析】显然，当点P在AB上运动时，点P到坐标平面xOz、yOz
的距离相等，且P在第一象限，所以可设P(t,t,a-t),t∈［0,
a］，
又Q在CD上运动，
所以可设Q(0,a,z0)，z0∈［0,a］.
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幻灯片 39所以|PQ|=
故当z0=t= 时，|PQ|有最小值为 a.
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幻灯片 40【反思·感悟】1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错.
2.利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决.
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幻灯片 41【变式备选】1.已知点A(1，a，-5)、B(2a，－7，－2)(a∈
R)，则AB的最小值是( )
(A)3 (B)3 (C)2 (D)2
【解析】选B.
|AB|＝
∴当a=-1时,|AB|取最小值3 .
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幻灯片 422.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小，则此最小距离为_________.
【解析】由已知，可设M(x,1-x,0),则
|MN|=
∴|MN|min= .
答案：
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幻灯片 43 空间向量的坐标运算
1.求空间向量数量积的方法
(1)定义法：设向量a,b的夹角为θ，则a·b=
｜a｜｜b｜cosθ；
(2)坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则
a· b =x1x2+y1y2+z1z2．
解题时可根据条件灵活选择方法．
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幻灯片 442.求向量模的方法
(1)|a|= ;
(2)若a=(x,y,z),则|a|=
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幻灯片 45【例3】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3，-1，4)，
B(-2，-2，2).
(1)求|2a+b|.
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得 (O为原点).
【解题指南】(1)若m=(x,y,z),
则|m|=
(2)假设存在点E在直线AB上，可由 设出点E的坐标，
由 列方程求解.
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幻灯片 46【规范解答】(1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1)，
∴2a+b=(0,-5,5)，
∴|2a+b|=
(2)假设存在点E，其坐标为E(x,y,z),
则存在实数λ，使得
即(x+3,y+1,z-4)=λ(1,-1,-2)
∴ ∴E(λ-3,-λ-1,-2λ+4)，
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幻灯片 47∴ =(λ-3,-λ-1,-2λ+4)，
又∵b=(-2,1,1), ⊥b，
∴ ·b=-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)
=-5λ+9=0，
∴λ= ，
∴E ，
∴在直线AB上存在点E ，使 ⊥b.
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幻灯片 48【反思·感悟】
1.类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系
从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直
角坐标系中A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点的坐标为
其两点间的距离公式为 而在
空间直角坐标系中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),线段AB中点的坐
标为 其两点间的距离公式为
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幻灯片 49 在平面直角坐标系中，
方程x2+y2=1表示以原点为圆心,1为半径的圆，而在空间直角坐
标系中，方程x2+y2+z2=1表示以原点为球心，1为半径的球面等.
2.类比平面向量及其运算性质学习空间向量及其运算性质
空间向量基本定理，向量的加、减运算及数乘运算，两向量的数量积的定义及运算性质和向量的坐标运算，都和平面向量中的相关内容完全一致.有区别的是两个基本定理中构成基底的向量及向量的坐标由二维扩展到三维.
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幻灯片 50【变式训练】已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，
-1，5).
(1)求以 为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|= ，且a分别与 垂直，求向量a的坐标.
【解析】(1)由题意可得：
=(-2，-1，3)， =(1，-3，2)，
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幻灯片 51∴以 为边的平行四边形的面积
(2)设a=(x，y，z)，
由题意得 解得 或
∴向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).
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幻灯片 52【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论而致误
【典例】(2012·临沂模拟)已知点P在z轴上，且满足|OP|=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_________.
【解题指南】先确定点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可.
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幻灯片 53【规范解答】设点P的坐标为(0,0,z)，
由|OP|=1得 =|z|=1，故z=±1.
当z=1时，点P的坐标为(0,0,1),
当z=-1时，点P的坐标为(0,0,-1),
答案：
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幻灯片 54【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 55----
幻灯片 561.(2012·合肥模拟)已知点A(-3,0,-4)，点A关于原点的对称点
为B，则|AB|等于( )
(A)12 (B)9 (C)25 (D)10
【解析】选D.由题意知点B的坐标为(3,0,4),故
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幻灯片 572.(2012·东莞模拟)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有( )
(A)1个 (B)2个 (C)不存在 (D)无数个
【解析】选D.在坐标平面xOy内，可设点P(x,y,0)，
由题意得
解得y=- ,x∈R.
所以符合条件的点有无数个.
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幻灯片 583.(2012·昆明模拟)空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4),
若|AB|= ,则实数a的值是( )
(A)3或5 (B)-3或-5
(C)3或-5 (D)-3或5
【解析】选A.由题意,根据空间两点间的距离公式得
两边平方得1+1+(4-a)2=3,
化简得(4-a)2=1,
∴4-a=±1,解得a=3或5.
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幻灯片 594.(2012·上海模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱
AA1和BB1的中点，则 的值为( )
【解析】选B．设正方体的棱长为2，以D为原
点建立如图所示空间坐标系，则
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幻灯片 605.(2012·赣州模拟)已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),
若 则| |的值是__________.
【解析】设P(x,y,z),则 =(x-1,y-2,z-1), =(-1-x,3-
y,4-z),由 故P( ),由两点间
距离公式可得
答案：
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幻灯片 61----
幻灯片 62----
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