幻灯片 1第八节 用向量讨论垂直与平行
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幻灯片 2三年8考 高考指数:★★★
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
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幻灯片 31.以空间向量及其运算为工具判定或证明平行、垂直是高考的重点，特别是用数量积解决空间中的垂直问题是高考的热点；
2.线线、线面、面面位置关系的题型多以解答题的形式出现，综合考查学生的空间想象能力、运算能力、数形结合思想以及运用知识分析问题、解决问题的能力.
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幻灯片 41.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一_______向量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
_______
_______
非零
n·a=0
.
n·b=0
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：①如何确定直线的方向向量？
②在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？
③直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？
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幻灯片 6提示：①在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量.
②给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．
③不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量.
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幻灯片 7(2)若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面α内的
三点，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=______.
【解析】
由 得
所以
答案：2∶3∶(-4)
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幻灯片 82.利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法
(1)直线与直线平行的判定方法
如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则
a∥b⇔________.
(2)直线与平面平行的判定方法
①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n,
则a∥α⇔________.
a=λb
a·n=0
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幻灯片 9②如果平面α外的直线a的方向向量为a,e1,e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a∥α⇔_____________.
(3)平面与平面平行的判定方法
如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β ⇔________.
a=λ1e1+λ2e2
n1=λn2
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幻灯片 10【即时应用】
(1)若直线a,b的方向向量分别为a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),则直线a与b的位置关系是______.
(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b=0,则直线l与平面α的位置关系是______.
(3)空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(-2，-1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是______.
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幻灯片 11【解析】(1)∵a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),
∴b=-2a,
∴a与b共线，即a∥b或a与b重合.
(2)∵a·b=0,∴a⊥b,
∴l∥α或l α.
(3)∵
∴
∴ 与 共线，又 与 没有公共点.
∴AB∥CD.
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幻灯片 12答案：(1)a∥b或a与b重合
(2)l∥α或l α
(3)AB∥CD
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幻灯片 133.利用向量的知识判定线线、线面、面面垂直的方法
(1)直线与直线垂直的判定方法
如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则
a⊥b⇔________.
(2)直线与平面垂直的判定方法
①如果直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n，则a⊥α
⇔_______.
a·b=0
a=λn
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幻灯片 14②如果直线a的方向向量为a,e1,e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a⊥α⇔__________________.
(3)平面与平面垂直的判定方法
如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β ⇔__________.
a·e1=0且a·e2=0
n1·n2=0
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幻灯片 15【即时应用】
(1)若平面α,β的法向量分别为a=(－1,2,4)，b=(x，-1，
-2)，并且α⊥β，则x的值为______．
(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直
线l1,l2的位置关系是______．
【解析】(1)由α⊥β得a·b=0，解得x＝－10.
(2)由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b，从而l1⊥l2．
答案：(1)－10 (2)l1⊥l2
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幻灯片 16 利用空间向量证平行
【方法点睛】
用向量证平行的方法
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幻灯片 17【提醒】用向量证明平行问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.
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幻灯片 18【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
(A)a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
(B)a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
(C)a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
(D)a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
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幻灯片 19(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，
求证：MN∥平面A1BD.
【解题指南】(1)验证a·n=0是否成立即
可.
(2)建立空间直角坐标系，由向量共线得线线平行，或利用
垂直于平面A1BD的法向量n,从而得出线面平行.
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幻灯片 20【规范解答】(1)选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件.
(2)方法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
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幻灯片 21则D(0,0,0)，A1(1,0,1),M(0，1， )，N( ，1，1)，
于是
∴
∴DA1∥MN.而MN 平面A1BD，
DA1 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
方法二：建立如方法一中的坐标系，则D(0,0,0),M(0,1, ),N( ,1,1)，A1(1,0,1),B(1，1，0).
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幻灯片 22设平面A1BD的一个法向量是n=(x，y，z)，
则 ，且 ，得
取x=1，得y=-1，z=-1，
∴n=(1，-1，-1).
又
∴
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
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幻灯片 23【反思·感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.
2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题.
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幻灯片 24【变式训练】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.
求证：平面EFG∥平面AB1C.
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幻灯片 25【证明】设
则
而 =a+b,
∴ ,故 ,又
又
而
∴
又∵EG∩EF=E,AC∩B1C=C,
∴平面EFG∥平面AB1C.
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幻灯片 26 利用空间向量证明垂直
【方法点睛】
用向量证明垂直的方法
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
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幻灯片 27【例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,
PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,
∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,
PB=4PM,PB与平面ABCD的夹角为30°.
(1)求证:CM∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.
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幻灯片 28【解题指南】建立空间直角坐标系.(1)可证明 与平面PAD的
法向量垂直；也可将 分解为平面PAD内的两个不共线向量的
线性组合，利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E，利用向量
证明BE⊥平面PAD即可.
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幻灯片 29【规范解答】由题意可知：以C为坐
标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直
线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图
所示的空间直角坐标系.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD的夹角，
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC= ,PB=4.
A
B
C
D
M
P
y
z
x
·
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幻灯片 30∴D(0,1,0),B( ,0,0),
A( ,4,0),P(0,0,2),
∴
(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则
即 ∴
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幻灯片 31令y=2,得n=( ,2,1).
∵
∴ ,又CM 平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
方法二:∵ 假设 ∥平面PAD，
则存在x,y使 ,则
方程组的解为
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幻灯片 32∴
由共面向量定理知 与 共面，故假设成立，
又∵CM 平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,连接BE，则
E( ,2,1),
∵PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵
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幻灯片 33∴ ，∴BE⊥DA，又PA∩DA=A.
∴BE⊥平面PAD,
又∵BE 平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
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幻灯片 34【互动探究】本例的条件不变，结论改为“求证：AB⊥CM.”则如何用向量法证明？
【证明】由本例的解题过程可知
∴
∴ 即AB⊥CM.
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幻灯片 35【反思·感悟】方向向量与法向量的作用
利用直线的方向向量与平面的法向量证明线线、线面、面面的平行和垂直关系的关键就是把垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系，然后利用向量的数量积解决.当然垂直与平行关系的判断与证明也可以不利用向量方法，而利用定理进行转化证明.两种方法都要熟练掌握.
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幻灯片 36【变式备选】如图,已知直三棱
柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰
直角三角形,∠BAC=90°,且
AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、
BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
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幻灯片 37【证明】如图建立空间直角坐标系,令AB=AA1=4,
则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).
(1)取AB中点为N,
则N(2,0,0),C(0,4,0),
D(2,0,2),∴
∴ ∴DE∥NC,
又NC在平面ABC内,DE不在平面ABC内，故DE∥平面ABC.
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幻灯片 38(2)
则 ，∴B1F⊥EF，
∵
∴ 即B1F⊥AF,
又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF.
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幻灯片 39 三垂线定理的应用
【方法点睛】
三垂线定理的应用
(1)证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直.
(2)计算问题，如求空间一点到平面内某一直线的距离，求两平行直线间的距离，求两条异面直线的夹角等.
(3)二面角问题，主要是构造二面角的平面角.
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幻灯片 40【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BB1、DD1上的动点.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)当E恰为棱BB1的中点时，能否在棱DD1上确定点F的位置，使平面ACE与平面ACF垂直，请说明理由.
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幻灯片 41【解题指南】(1)利用三垂线定理证EF⊥AC.
(2)通过证二面角的平面角为90°证面面垂直.
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幻灯片 42【规范解答】(1)在正方体中，
DD1⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
∴DD1⊥AC.
连接BD，B1D1,则AC⊥BD，
又DD1∩BD=D,于是知AC⊥平面BB1D1D.
又E、F分别是棱BB1、DD1上的动点，
所以EF 平面BB1D1D，故EF⊥AC.
B1
C1
D1
A1
F
G
D
C
A
B
E
·
O
·
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幻灯片 43 (2)DF⊥底面ABCD，设AC∩BD=O，
∵AC⊥BD,由三垂线定理知FO⊥AC.
同理EO⊥AC，故∠EOF是二面角E-AC-F的平面角.
设正方体棱长为1，FD=t,
在Rt△FDO中，
∵E为棱BB1的中点，在Rt△EBO中，
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幻灯片 44在平面BB1D1D内，过点E作EG⊥DD1于G，
则FG=
要使平面ACE与平面ACF垂直，即∠EOF=90°.
则EO2+FO2=EF2，即
解得t=1.故当点F运动到顶点D1时，平面ACE与平面ACF垂直.
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幻灯片 45【反思·感悟】解答本题容易出现找不出正确的二面角的平面角而得出错误答案的情况.
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幻灯片 46【变式训练】如图,△ABC所在平面
α外一点P,已知PA⊥BC,PB⊥AC,
(1)求证：P在平面α内的投影是
△ABC的垂心;
(2)求证：PC⊥AB.
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幻灯片 47【证明】(1)作PO⊥平面α于O点,连
接AO并延长交BC于D.
连接BO并延长交AC于E.
∵PA⊥BC,∴BC⊥AD.
同理,AC⊥BE,
∴O为△ABC的垂心.
(2)连接OC并延长交AB于F，∵O为△ABC的垂心,
∴AB⊥CF.又∵PO⊥平面α,∴AB⊥PC.
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幻灯片 48【满分指导】空间向量平行与垂直运算中的规范解答
【典例】(12分)(2012·长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设a= ,b= .
(1)若｜c｜=3,且c∥ ,求向量c的坐标；
(2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,n应满足的关系式.
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幻灯片 49【解题指南】(1)求 的坐标，由c=λ 得c的坐标，根据｜c｜=3求得λ,可得所求.(2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b)和2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件.
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幻灯片 50【规范解答】(1)由条件得a= =(1，1，0)，
b= =(-1，0，2)，
∴ = - =(-2,-1,2).………………………………2分
∵c∥ ,
∴c=λ =λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).…………………4分
∴｜c｜=
∴λ=1或λ=-1.
∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).………………………………6分
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幻灯片 51(2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),
2a-b=(3,2,-2).
∴m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).…………………………8分
∵m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，
∴［m(a+b)+n(a-b)］·(2a-b)
=3·2n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0.
∴m=6n.…………………………………………………………11分
即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.……………12分
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幻灯片 52【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：
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幻灯片 53----
幻灯片 541.(2012·宝鸡模拟)已知a=(cosθ,1,sinθ)，b=(sinθ，1,cosθ),则向量a+b与a-b的夹角是( )
(A)0° (B)30° (C)60° (D)90°
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幻灯片 55【解析】选D．∵a+b=(cosθ+sinθ，2，sinθ+cosθ)，
a-b=(cosθ-sinθ，0,sinθ-cosθ)．
∴(a+b)·(a-b)=
(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)+2×0+(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=cos2θ-sin2θ+sin2θ-cos2θ=0．
∴(a+b)⊥(a-b)．
即向量a+b与a-b的夹角是90°．
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幻灯片 562.(2012·昆明模拟)如图，正方形
ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB＝ ，AF＝1，M在EF上,且AM∥
平面BDE.则M点的坐标为( )
(A)(1,1,1)
(B)( , ,1)
(C)( , ,1)
(D)( , ,1)
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幻灯片 57【解析】选C.∵M在EF上，设ME＝x，∴
∵A( , ,0)，D( ,0，0)，E(0,0,1)，B(0， ，0)
∴
设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，
由 ，得a＝b＝
故可取一个法向量
∵
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幻灯片 583.(2012·锦州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)、B(10，-1，6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为______.
【解析】由题意知
又 可得x=2.
答案：2
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幻灯片 594.(2012·荆州模拟)在正方体AC1中,P为DD1中点,O为底面ABCD的中心,则直线OB1与平面PAC的位置关系为_____.
【解析】如图分别以DA,DC,DD1所在直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，不妨设
正方体的棱长为2,则A(2,0,0),P(0,0,1),
C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0)
∴
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幻灯片 60
∴OB1⊥AC,OB1⊥AP,又∵AC∩AP=A,
∴OB1⊥平面PAC.
答案：垂直
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幻灯片 615.(2012·长沙模拟)如图，直三棱柱ABC-
A1B1C1，在底面△ABC中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，
A1A的中点，
(1)求 的长；
(2)求cos〈 〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
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幻灯片 62【解析】如图，分别以CA，CB，CC1所
在直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系
(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)
∴
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幻灯片 63(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，
∴
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幻灯片 64(3)依题意得C1(0，0，2)、M( ， ，2)， =(-1，1，
-2)，
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幻灯片 65----
幻灯片 66----
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