幻灯片 1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
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幻灯片 2三年24考 高考指数:★★★★
1.理解命题的概念.
2.了解“若p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
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幻灯片 31.充分、必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的重点和热点.
2.以选择题和填空题为主，由于知识载体丰富，因此题目有一定的综合性，属于中、低档题.
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幻灯片 41.命题
(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______.
(2)特点：能判断真假、______.
(3)分类：真命题、假命题.
陈述句
陈述句
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)“sin45°=1”是假命题 ( )
(2)“x2+2x-1”是命题 ( )
(3)“3是12的约数吗”是假命题 ( )
(4)“x2+2x-3＞0”是真命题 ( )
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幻灯片 6【解析】“sin45°=1”能判断真假，是命题且为假命题，故(1)正确.
“x2+2x-1”与“x2+2x-3＞0”不能判断真假，不是命题，故(2)、(4)错.
“3是12的约数吗”不是陈述句，不是命题，故(3)错.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
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幻灯片 72.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系:
互逆
互逆
互否
互否
互为 逆否
互为 逆否
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幻灯片 8(2)四种命题的真假关系:
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的________.
②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性__________.
真假性
没有关系
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幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列命题是真命题还是假命题(填“真”或“假”).
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ( )
②“正多边形都相似”的逆命题 ( )
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题 ( )
④“若x－ 是有理数，则x是无理数”的逆否命题 ( )
(2)命题：“若x2≤1，则－1＜x＜1”的逆否命题是______.
(3)命题“对实数a，若a＞0，则a2＞0”的否命题是______.
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幻灯片 10【解析】(1)①的否命题是“若x2＋y2=0，则x，y全为零”,是真命题;②的逆命题是“相似形是正多边形”，是错误的,故是假命题；③④的原命题是真命题，故它们的逆否命题也是真命题.
(2)“-1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤-1”，“x2≤1”的否定是“x2＞1”，故已知命题的逆否命题是“若x≥1或x≤-1，则x2＞1”.
(3)“a＞0”的否定是“a≤0”,“a2＞0”的否定是“a2≤0”,故已知命题的否命题是“对实数a，若a≤0，则a2≤0”.
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幻灯片 11答案：(1)①真 ②假 ③真 ④真
(2)若x≥1或x≤-1，则x2＞1
(3)对实数a，若a≤0，则a2≤0
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幻灯片 123.充分条件、必要条件与充要条件
前提：条件为p，结论为q.
定义：(1)若p⇒q，称p是q的_____条件，q是p的______条件.
(2)若p⇔q，称p是q的______条件，q也是p的_______条件.
(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
充分
必要
充要
充要
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幻灯片 13【即时应用】
(1)设a≠0，则“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的_______条件.
(2)“m＜ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的_____
条件.
(3)若集合A={1,m2},B={2,4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的
___________条件.
【解析】(1)当a＜0时，x∈{a,-a} |x|=a,
但|x|=a⇒x∈{a,-a},
故“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的必要不充分条件.
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幻灯片 14(2)Δ=1-4m，当m＜ 时，Δ＞0，方程x2+x+m=0有实数解；若
方程x2+x+m=0有实数解，
则Δ=1-4m≥0，
∴m≤ ,∴“m＜ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”
的充分不必要条件.
(3)m=2⇒A∩B={4}，但A∩B={4} m=2,
故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
答案：(1)必要不充分 (2)充分不必要
(3) 充分不必要
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幻灯片 15 四种命题及其关系
【方法点睛】1.判断四种命题关系的一般思路
首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.
2.命题等价性的应用
当一个命题直接判断真假不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.
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幻灯片 16【提醒】要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
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幻灯片 17【例1】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是__________.
(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是__________.
(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________.
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幻灯片 18【解题指南】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.
(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.
【规范解答】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.
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幻灯片 19(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.
答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数
(2)若a≤b，则a-1≤b-1
(3)1
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幻灯片 20【互动探究】若本例(1)、(2)中命题不变，写出这两个命题的逆否命题.
【解析】将原命题的条件和结论互换位置，并且同时否定，所得命题就是它的逆否命题.
(1)逆否命题是“若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数”.
(2)逆否命题是“若a-1≤b-1，则a≤b”.
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幻灯片 21【反思·感悟】1.对于四种命题真假的判断，关键是分清命题的条件和结论，然后再结合相关的知识进行判断；
2.当一个命题的条件与结论是否定形式时，一般不易判断其真假，可判断其逆否命题是否正确.
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幻灯片 22【变式备选】写出“若x=2或x=3，则x2-5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
【解析】逆命题：若x2-5x+6=0，则x=2或x=3，是真命题；
否命题：若x≠2且x≠3，则x2-5x+6≠0，是真命题；
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3，是真命题.
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幻灯片 23 充分条件与必要条件的判断
【方法点睛】充分、必要条件的判断方法
(1)命题判断法
通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件.
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幻灯片 24(2)集合判断法
建立命题p,q相应的集合：p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成
立}，那么从集合的观点看，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必
要条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充
分条件；
③若A⊆B且B⊆A，即A=B，则p是q的充要条件.
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幻灯片 25【例2】(1)(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0},
B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
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幻灯片 26(2)(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，条件q:lg( )有意义，则﹁p是﹁q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解题指南】(1)求出集合C及A∪B，根据两集合的关系判断.
(2)化简条件p、q，求出﹁p与﹁q后根据集合间的关系判断.
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幻灯片 27【规范解答】(1)选C.集合C的解集是{x|x<0或x>2},
∵A∪B={x|x<0或x>2},∴A∪B=C，故选C.
(2)选B.由(1-x)(x+1)＞0,得-1＜x＜1，即条件p:-1＜x＜1，则﹁p:x≤-1或x≥1.
由 ，得-1＜x≤1.
即条件q:-1＜x≤1，则﹁q:x≤-1或x＞1.
∴﹁p ﹁q，但﹁q⇒﹁p.
∴﹁p是﹁q的必要不充分条件，故选B.
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幻灯片 28【互动探究】在本例(1)中，条件不变，则“x∈A∩C”是“x∈B”的什么条件？
【解析】由题中条件知，A∩C={x∈R|x＞2}，B={x∈R|x＜0}，故“x∈A∩C”是“x∈B”的既不充分也不必要条件.
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幻灯片 29【反思·感悟】判断充分、必要条件时应注意的问题
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A;
(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；
(3)要注意转化：若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若﹁p是﹁q的充要条件，那么p是q的
充要条件.
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幻灯片 30【变式备选】指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中，p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;
(2)对于实数x、y，p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中，p:x∈A∪B，q:x∈B;
(4)已知x、y∈R，p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
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幻灯片 31【解析】(1)在△ABC中，∠A=∠B⇔a=b⇔sinA=sinB,
故p是q的充要条件.
(2)易知,﹁p:x+y=8,﹁q:x=2且y=6，显然﹁q⇒﹁p,但
﹁p ﹁q，即﹁q是﹁p的充分不必要条件，根据原命题和逆
否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p
是q的必要不充分条件.
(4)p:x=1且y=2，q:x=1或y=2，所以p⇒q，
但q p，故p是q的充分不必要条件.
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幻灯片 32 充分条件、必要条件的应用
【方法点睛】充分条件、必要条件的应用
解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
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幻灯片 33【例3】已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|(x-a)·(x-8)
≤0}.
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件.
【解题指南】(1)利用集合M和M∩P，通过分析求得a的范围.
(2)借助(1)的结论，根据充分但不必要条件所满足的关系，确定a的值.
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幻灯片 34【规范解答】(1)由 M∩P={x|5＜x≤8}，得-3≤a≤5，因此M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M∩P={x|5＜x≤8}；反之，M∩P={x|5＜x≤8}未必有a=0，故a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件.
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幻灯片 35【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个必要但不充分条件.
【解析】求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件，故{a|-3≤a≤5}是集合Q的一个真子集.当{a|a≤5}时，未必有M∩P={x|5＜x≤8}，但是M∩P={x|5＜x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件.
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幻灯片 36【反思·感悟】解答本例(2)时，需借助(1)的结论，即求某一个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出这个结论的充要条件.
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幻灯片 37【变式备选】已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
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幻灯片 38【解析】由x2-8x-20＞0，得x＜-2或x＞10,
∴p：x＜-2或x＞10.
由x2-2x+1-a2＞0，得x＜1-a或x＞1+a，
∴q：x＜1-a或x＞1+a.
∵p是q的充分不必要条件，
∴ 解得0＜a≤3.
∴a的取值范围为0＜a≤3.
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幻灯片 39【创新探究】探求结论成立的充要条件
【典例】(2011·陕西高考)设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_________.
【解题指南】直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证.
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幻灯片 40【规范解答】x= 因为x是整数，即
为整数，所以 为整数，且n≤4,又因为n∈N*，
取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意，所以n=3,4时可以推出
一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.
答案：3或4
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幻灯片 41【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 42----
幻灯片 431.(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
(A)若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3
(B)若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3
(C)若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
(D)若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
【解析】选A.命题“若p,则q”的否命题是“若﹁p,则﹁q”,故选A.
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幻灯片 442.(2011·福建高考) 若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
【解析】选A. ∵a=1⇒|a|=1，而|a|=1时，
⇒a=1或a=-1，
∴“a=1”是“|a|=1”的充分而不必要条件.
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幻灯片 453.(2012·宿州模拟)已知a,b∈R，则“log3a＞log3b”是
“ ”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.由log3a＞log3b得a＞b，从而
但当a=-1，b=-2时，有 而log3a与log3b没有意义,
所以 log3a＞log3b,故选A.
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幻灯片 464.(2012·南京模拟)命题：“若a,b,c成等比数列，则b2=ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是______.
【解析】原命题与逆否命题同真假，又原命题是真命题，因此逆否命题也是真命题；命题的逆命题为：“若b2=ac，则a,b,c成等比数列”为假命题，又逆命题和否命题同真假，故否命题也是假命题，综上知，真命题有2个.
答案：2
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