幻灯片 1第十二节 导数在研究函数中的应用与
生活中的优化问题举例
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幻灯片 2三年36考 高考指数:★★★★★
1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用导数解决某些简单的实际问题.
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幻灯片 31.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值(最值)是考查重点；
2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点；
3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大.
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幻灯片 41.导数与函数单调性的关系
(1)函数y=f(x)在某个区间内可导
①若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；
②若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________.
③如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为__________.
(2)单调性的应用
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f′(x)在该区间上不变号.
单调递增
单调递减
常数函数
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幻灯片 5【即时应用】
(1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是________.
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是__________.
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幻灯片 6(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_____________.
【解析】(1)在(0，2π)上有f′(x)=1-cosx>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增.
(2)由导函数图象知，f′(x)在(-∞,0)上为正，在(0,2)上为负，在(2,+∞)上为正，所以f(x)在(-∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，比较①②③④，只有③符合.
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幻灯片 7(3)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，
即Δ=4-12m≤0，∴m≥
答案：(1)单调递增 (2)③ (3)m≥
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幻灯片 82.函数极值的概念
(1)极值点与极值
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性______
(或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极
值.
(2)极大值点与极小值点
①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为________点.
②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为________点.
相反
极大值
极小值
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幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“√”或“×”)
①导数为零的点一定是极值点 ( )
②函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值 ( )
③函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值 ( )
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幻灯片 10(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为___________.
(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_______.
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幻灯片 11【解析】(1)①导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，
②正确，③f(x0)为极小值，故错误.
(2)从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；
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幻灯片 12(3)由f′(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3,
当x＜-3时，f′(x)＞0,
当-3＜x＜1时，f′(x)＜0,
当x＞1时，f′(x)＞0,
∴x=1和x=-3都是f(x)的极值点.
答案：(1)①× ②√ ③× (2)1 (3)x=1,x=-3
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幻灯片 133.函数极值与最值的求法
(1)求可导函数极值的步骤：
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)=0的根；
③列表，检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是极大值还是极小值.
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幻灯片 14(2)求函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最值可分两步进行：
①求y=f(x)在(a,b)内的______；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，
其中最大的一个为_______，最小的一个为________.
极值
最大值
最小值
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幻灯片 15【即时应用】
(1)思考：最值是否一定是极值？
提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.
(2)函数f(x)=3x-4x3，x∈[0,1]的最大值是________.
【解析】由f′(x)=3-12x2=0得x=
∵f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，
∴f(x)max=1.
答案：1
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幻灯片 16(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=____.
【解析】f′(x)=3x2+2ax+b，由题意
即 得a=4或a=-3.
但当a=-3时，b=3,f′(x)=3x2-6x+3≥0，故不存在极值，
∴a=4，b=-11，f(2)=18.
答案：18
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幻灯片 174.导数的实际应用
导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.
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幻灯片 18【即时应用】
(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：
万件)的函数关系式为y= +81x-234，则使该生产厂家获得
最大年利润的年产量为________.
(2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成
两块，其中一块是梯形，记S= 则S的最小值是
________.
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幻灯片 19【解析】(1)y′=-x2+81,令y′=0得
x=9或x=-9(舍去)，当x＜9时y′＞0；
当x＞9时y′＜0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值；
即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.
(2)设剪成的小正三角形的边长为x，
则：S=
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幻灯片 20S′(x)=
=
令S′(x)=0(0＜x＜1),得x=
当x∈(0, )时，S′(x)＜0,S(x)递减；
当x∈( ,1)时，S′(x)＞0,S(x)递增；
故当x= 时，S取得最小值
答案：(1)9万件 (2)
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幻灯片 21 利用导数研究函数的单调性
【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用
(1)利用导数判断函数的单调性；
(2)利用导数求函数的单调区间；
(3)已知函数单调性，求参数的范围.
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幻灯片 222.导数法求函数单调区间的一般步骤
第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域
第二步：求根：求方程f′(x)=0在定义域内的根
第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间
第四步：定号：确定f′(x)在各个区间内的符号
第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间.
【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
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幻灯片 23【例1】(1)(2011·山东高考)函数y= -2sinx的图象大致是
( )
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幻灯片 24(2)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2:
①若a= 求f(x)的单调区间；
②若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
【解题指南】(1)排除法与求导相结合，根据导数与函数单调
性的关系判断.
(2)当a= 时，函数的解析式是具体的，只需解不等式f′(x)
＞0和f′(x)＜0即可得到单调区间；求a的范围时构造函数，
对a分类讨论求解.
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幻灯片 25【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0，排除A.
当x>2π时，y= -2sinx>0，排除D.
∵由y′= -2cosx>0得cosx< 在满足上式的x的区间内，y
是增函数,
由y′= -2cosx<0得cosx> 在满足上式的x的区间内，y是减函数.
∴由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个,
∴B不正确，C正确.
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幻灯片 26(2)①a= 时，f(x)=x(ex-1)- x2，
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)＞0;
当x∈(-1,0)时，f′(x)＜0;
当x∈(0,+∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增，
在(-1，0)上单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-1,0).
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幻灯片 27②f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.
若a≤1，则当x∈(0,+∞)时，
g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)=0，
从而当x≥0时,g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0,lna)时，g′(x)＜0，
g(x)为减函数，而g(0)=0，
从而当x∈(0,lna)时,g(x)＜0，即f(x)＜0.
综合得a的取值范围为(-∞,1].
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幻灯片 28【互动探究】若本例(2)第②问中条件改为“若当x≤0时，f(x)≤0”，则a的取值范围是___________.
【解析】由例题知，若a≥1，则当x∈(-∞,0］时，g(x)
为减函数，而g(0)=0，∴g(x)≥0,∴f(x)≤0.
若0＜a＜1，则当x∈(lna,0)时，g(x)为增函数，而g(0)=0，∴g(x)＜0,∴f(x)＞0,不合题意，若a≤0,则当x∈(-∞,0］时，g(x)为增函数，而g(0)=0,∴g(x)＜0,∴f(x)＞0,不合题意，∴a的取值范围是[1,+∞).
答案：[1,+∞)
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幻灯片 29【反思·感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域.
2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.
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幻灯片 30【变式备选】已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
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幻灯片 31【解析】(1)由已知f′(x)=3x2-a,
∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，
∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,
又a=0时，f′(x)=3x2≥0且只有f′(0)=0,
故f(x)=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
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幻灯片 32(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，
得a≥3x2在(-1,1)上恒成立.
∵-1 时，M′(x)<0，∴M(x)在( e]上为减函数，
当1≤x＜ 时，M′(x)＞0，
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幻灯片 40∴M(x)在[1， )上为增函数，
∴M(x)在[1，e]上有最大值.
又M(1)＝1-1＝0，M(e)=5-e2＜0，
∴M(x)最小值为5-e2，于是有m＞5-e2为所求.
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幻灯片 41【变式备选】设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R)，已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.
(1)求b、c的值.
(2)求g(x)的单调区间与极值.
【解析】(1)∵f(x)=x3+bx2+cx，
∴f′(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f′(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+
(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0，得c=0，由奇函数的定义得b=3；
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幻灯片 42(2)由(1)知g(x)=x3-6x，从而g′(x)=3x2-6，由此可知，(-∞,
)和( ,+∞)是函数g(x)的单调递增区间；( )是
函数g(x)的单调递减区间；
g(x)在x= 时，取得极大值，极大值为 g(x)在x= 时，
取得极小值，极小值为
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幻灯片 43 导数在实际问题中的应用
【方法点睛】1.导数在实际问题中的应用
在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决.注意检验结果与实际是否相符.
2.实际问题中的最值
根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数的极值就是最值.
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幻灯片 44【例3】(2011·山东高考)某企业拟
建造如图所示的容器(不计厚度，长
度单位：米)，其中容器的中间为圆
柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平
方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
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幻灯片 45【解题指南】本题为应用题，(1)先求出l和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2)利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值.
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幻灯片 46【规范解答】(1)因为容器的容积为 立方米，
所以
解得l= 由于l≥2r,因此0＜r≤2.
所以圆柱的侧面积为
2πrl=
两端两个半球的表面积之和为4πr2,
所以建造费用y= -8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].
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幻灯片 47(2)因为y′= -16πr+8πcr 0＜r≤2.
由于c>3,所以c-2>0,
所以令y′＞0得:r＞
令y′＜0得:0＜r＜
①当3＜c≤ 即 ≥2时，函数y在(0，2］上是单调递减
的，故建造费用最小时r=2.
②当c＞ 即0＜ ＜2时，函数y在(0，2］上是先减后增
的，故建造费用最小时r=
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幻灯片 48【反思·感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题.
2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因.
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幻灯片 49【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时
的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以
表示为： 已知甲、乙两地相距
100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要
耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？
最少为多少升？
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幻灯片 50【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 2.5小
时，
要耗油( ×403- ×40+8)×2.5=17.5(升).
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地
耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小
时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=
(0＜x≤120),
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幻灯片 51h′(x)= (0＜x≤120).
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数；
当x∈(80,120］时，h′(x)＞0,h(x)是增函数.
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
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幻灯片 52【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
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幻灯片 53【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.
(2)L′=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)
=(12-x)(18+2a-3x).
令L′=0得x=6+ 或x=12(不合题意，舍去).
∵3≤a≤5,∴8≤6+
在x=6+ 两侧，由左向右L′的值由正变负.
所以①当8≤6+ ＜9即3≤a＜ 时，
Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).
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幻灯片 54②当9≤6+ 即 ≤a≤5时，
Lmax=L(6+ )=(6+ -3-a)［12-(6+ )］2=4(3- )3.
所以Q(a)=
即：若3≤a＜ 则当每件售价为9元时，分公司一年的利润
L最大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元)；若 ≤a≤5，则当每件售
价为(6+ )元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=
4(3- )3(万元).
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幻灯片 55【满分指导】函数综合题的规范解答
【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数f(x)=x- -alnx
(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,
f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
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幻灯片 56【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论；
(2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足.
【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)= ………………………… 2分
令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ………………………………………………………3分
②当a＜-2时，Δ＞0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ……………4分
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幻灯片 57③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为
当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；
当x＞x2时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减. ……………………………6分
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幻灯片 58(2)由(1)知，a＞2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ -a(lnx1-lnx2)，
所以k= ………………8分
又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a·
若存在a，使得k=2-a,则
即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2- -2lnx2=0(x2＞1)(*)
……………………………………………………10分
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幻灯片 59再由(1)知，函数h(t)=t- -2lnt在(0,+∞)上单调递增，而
x2＞1，所以x2- -2lnx2＞1- -2ln1=0.这与(*)式矛盾.
…………………………………………………………11分
故不存在a，使得k=2-a. ………………………………12分
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幻灯片 60【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 61----
幻灯片 621.(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则ab的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9
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幻灯片 63【解析】选D.∵f(x)=4x3-ax2-2bx，
∴f′(x)=12x2-2ax-2b=2(6x2-ax-b).
又∵f(x)在x=1处有极值，
∴f′(1)=0，即6-a-b=0，∴a+b=6.
又∵a、b＞0，∴ab≤ =9(当且仅当a=b时取等号)，
即ab的最大值为9.
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幻灯片 642.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是__________.
【解析】设P(x0,ex0),则l:y-ex0=ex0(x-x0),
∴M(0,(1-x0)ex0)，过点P作l的垂线,
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幻灯片 65垂线方程为y-ex0=-e-x0(x-x0),
∴N(0,ex0+x0e-x0),
∴t= [(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+ x0(e-x0-ex0)，t′=
(ex0+e-x0)(1-x0),
所以，t在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴x0=1时,tmax=
答案：
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幻灯片 663.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=_______处取得极小值.
【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
∴f(x)的单调递增区间为：(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2),∴f(x)在x=2处取得极小值.
答案：2
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