幻灯片 1第三节 函数的奇偶性与周期性
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幻灯片 2三年12考 高考指数:★★★
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
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幻灯片 31.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；
2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题;
3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.
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幻灯片 41.奇函数、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)f(x)为偶函数⇔____________;
(2)f(x)为奇函数⇔____________.
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
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幻灯片 5【即时应用】
(1)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或
“否”)
①y=x2-|x| ( )
②y=sin3x ( )
③y=x+ ( )
④y=3x-3-x ( )
⑤y=|x|cosx ( )
⑥y=x2,x∈(-1,1］ ( )
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幻灯片 6(2)已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是_________.
(3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(x)=
_______.
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幻灯片 7【解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数①,⑤为偶函数，
②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数.
(2)由已知得 解得
∴
即
又x∈ ∴b=0,故
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幻灯片 8(3)由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,∴f(-x)=(-x)2=x2,
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,
综上，
答案：(1)①否 ②是 ③是 ④是 ⑤否 ⑥否
(2) (3)
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幻灯片 92.奇、偶函数图象的性质
(1)奇函数图象的特征：关于_______对称.
(2)偶函数图象的特征：关于_______对称.
原点
y轴
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幻灯片 10【即时应用】
(1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=x·sinx各自图象有何对称性？
提示：f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称；g(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称.
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幻灯片 11(2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是______.
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交点亦关于y轴对称，或在y轴上，故其和为0.
答案：0
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幻灯片 123.周期性
(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
①T≠0;
②_____________对定义域内的任意x都成立.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
_____________，那么这个___________就叫做它的最小正周
期．
f(x+T)=f(x)
最小的正数
最小的正数
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幻灯片 13【即时应用】
(1)已知函数f(x),对 ，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)
时，f(x)=2 012x2,则f(2 013)=______.
(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的
最小正周期为_______.
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幻灯片 14【解析】(1)∵f(x+4)=f(x),
∴f(x)的最小正周期为4，
∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012.
(2)∵f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).
∴最小正周期为2.
答案：(1)2 012 (2)2
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幻灯片 15判断函数的奇偶性
【方法点睛】判断函数奇偶性的常用方法及思路
(1)定义法：
否
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幻灯片 16(2)图象法：
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幻灯片 17(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性
【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数
和差
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
积 商
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幻灯片 18【例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3-x;
(2)
(3)
【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数的奇偶性.
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幻灯片 19【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又∵f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)使 有意义，则有 ≥0且1+x≠0,
解得函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x)
既不是奇函数，也不是偶函数.
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幻灯片 20(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；
当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数.
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幻灯片 21【互动探究】若将本例(2)的函数改为
其奇偶性又如何呢？
【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1)，关于原点对称，
∴
又∵
∴函数f(x)为奇函数．
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幻灯片 22【反思·感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则可能得到错误结论.
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幻灯片 23【变式备选】判断下列函数的奇偶性.
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幻灯片 24【解析】(1)由 得x=-1或x=1.
∴函数f(x)的定义域为{-1,1}.
又对于定义域内的任意x,f(-x)=0=±f(x),
∴函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.
(2)显然函数的定义域为R，
又∵
∴函数f(x)为奇函数.
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幻灯片 25(3)由 得-2≤x≤2且x≠0．
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
又∵
∴函数f(x)为奇函数.
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幻灯片 26 应用函数奇偶性
【方法点睛】应用函数奇偶性可解决的问题及方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.
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幻灯片 27(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
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幻灯片 28【例2】(1)(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( )
(A)-3 (B)-1
(C)1 (D)3
(2)(2011·辽宁高考)若函数 为奇函数，
则a=( )
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幻灯片 29(3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0］上是减函数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是______.
【解题指南】(1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解；
(2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构建a的方程求解；
(3)根据奇偶性得到f(x)在［0,+∞)上的单调性，即将原不等式转化为f(|a|)≥f(2),从而求解.
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幻灯片 30【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以
f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.
(2)选A.∵函数f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0恒成立，即
恒成立.可化为(2x+1)(x-a)= (2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0, ∴a= .
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幻灯片 31(3)由已知得f(x)在［0,+∞)上为增函数，且f(a)=f(|a|),
∵f(a)≥f(2),∴f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2.
得:a≥2或a≤-2.
答案：a≥2或a≤-2
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幻灯片 32【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析式.
【解析】当x>0时，-x<0,
又x≤0时，f(x)=2x2-x,
∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,
又f(-x)=-f(x),
即:-f(x)=2x2+x,∴f(x)=-2x2-x.
综上,
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幻灯片 33【反思·感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.
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幻灯片 34【变式备选】奇函数f(x)的定义域
为［-5,5］.若当x∈［0,5］时，
f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)
<0的解集是______.
【解析】由奇函数图象对称性补出其在［-5,0)上的图象，由图象知解集为(-2,0)∪(2,5］.
答案：(-2,0)∪(2,5］
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幻灯片 35 函数的周期性及其应用
【方法点睛】(1)判断函数周期性的几个常用结论
若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它
的一个周期；
②f(x+a)= (a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它
的一个周期；
③f(x+a)= ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一
个周期；
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幻灯片 36(2)应用函数周期性的两个结论
如果T是函数y=f(x)的周期，则
①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，
即f(x+kT)=f(x)；
②若已知区间[m,n](m10时，|lgx|>1,因此结合图象及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.
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幻灯片 40【反思·感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图象，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图象，关键是用好其周期性进行转化.
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幻灯片 41【变式训练】(2012·德州模拟)已知函数f(x)是定义在 (-∞，
+∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，
且当x∈[0，2)时，f(x)=log2(x+1)，则f(-2 011)+f(2 012)
的值为( )
(A)-1 (B)-2 (C)2 (D)1
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幻灯片 42【解析】选A. ∵f(x)为奇函数，且当x≥0时有f(x+2)=f(x)，
∴f(-2 011)=-f(2 011)=-f(1)=-log2(1+1)=-1，
f(2 012)=f(0)=log2(0+1)=0，
∴f(-2 011)+f(2 012)=-1+0=-1.
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幻灯片 43【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性
【典例】(2011·福建高考)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
(A)4和6 (B)3和1
(C)2和4 (D)1和2
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幻灯片 44【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征，构造奇函数g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质，g(-1)+g(1)=0,探究出f(-1)+f(1)与c的关系，从而由c∈Z限定f(1)与f(-1)不可能的取值.
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幻灯片 45【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,
∵g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),
∴g(x)为定义在R上的奇函数.
则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0.
∴f(-1)+f(1)=2c,
又c∈Z,∴f(1)+f(-1)是偶数，
而选项中只有D中两数和为奇数，故选D.
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨及备考建议
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011·山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图象在区间［0,6］上与x轴的交点个数为( )
(A)6 (B)7
(C)8 (D)9
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幻灯片 49【解析】选B.令f(x)=x3-x=0,
即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1,
因为0≤x<2,所以此时函数的零点有两个,即与x轴的交点个数为2.
因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，
所以2≤x<4,4≤x<6上也分别有两个零点，
由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,
知f(6)也是函数的零点，
所以函数y=f(x)的图象在区间［0,6］上与x轴的交点个数为7.
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幻灯片 502.(2012·日照模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
-f(x+ )，且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+…+
f(2 011)+f(2 012)=( )
(A)-2 (B)-1
(C)0 (D)1
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幻灯片 51【解析】选A.因为f(x)= ,即f(x+ )=-f(x),
∴
∴f(x)是以3为周期的函数.
∴f(1)=f(1-3)=f(-2)=-1,
f(2)=f(2-3)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,
∴f(1)+f(2)+f(3)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 011)+f(2 012)
=670［f(1)+f(2)+f(3)］+f(1)+f(2)
=670×0+(-1)+(-1)=-2.
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幻灯片 523.(2011·湖南高考)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,
g(-2)=3,则f(2)=______.
【解析】因为f(x)=g(x)-9是奇函数，所以f(-x)=-f(x),
∴g(-x)-9=-［g(x)-9］,
∴g(-2)-9=-［g(2)-9］,
∵g(-2)=3,∴g(2)=15,所以f(2)=g(2)-9=6.
答案：6
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幻灯片 534.(2011· 浙江高考)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=_______.
【解析】方法一：∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x),
即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|⇒|x+a|=|x-a|恒成立，∴a=0.
方法二：函数y=x2为偶函数，函数y=|x+a|是由偶函数y=|x|向左或向右平移了|a|个单位，要使整个函数为偶函数，则需a=0.
答案：0
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