幻灯片 1第八节 函数的图象
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幻灯片 2三年7考 高考指数:★★
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.
3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.
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幻灯片 31.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点.
2.利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点)、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点.
3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目.
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幻灯片 41.六类基本初等函数的图象
（a>0）
（a<0）
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幻灯片 5(k>0)
(k<0)
(a>1)
(01)
(00且a≠1，故f(x)=ax图象为过原点且上升的直线，故①④不正确，再结合②③，分析01知，②正确.
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幻灯片 11(3)由图象知，图象的对称轴 又抛物线的开
口向下，∴a<0，于是b>0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的交点
为(0,c).∴c>0，∴ >0,故点P(a, )在第二象限.
答案：(1)③ (2)② (3)第二象限
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幻灯片 122.函数图象间的变换
(1)平移变换
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幻灯片 13(2)对称变换：
①y=f(x) y=________;
②y=f(x) y=________;
③y=f(x) y=________;
④y=ax(a>0且a≠1) y=________________
(3)翻折变换：
①y=f(x) y=_______.
②y=f(x) y=_______.
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
关于y=x对称
-f(x)
f(-x)
-f(-x)
logax(a>0且a≠1)
保留x轴上方图象
将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右边图象，并作其
关于y轴对称的图象
|f(x)|
f(|x|)
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幻灯片 14(4)伸缩变换：
①y=f(x) y=______.
②y=f(x) y=______.
a>1,横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
01,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
00)有两个解，则a的取值范围为_____.
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幻灯片 17【解析】(1)∵f(x)=log22x=1+log2x.
∴f(x)=log22x的图象是函数f(x)=log2x的图象向上平移1个单
位得到的；
又∵g(x)=21-x=( )x-1，
∴g(x)=21-x的图象是函数g(x)=( )x的图象向右平移1个单位得
到的.
因此③是，①②④都不是.
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幻灯片 18(2)从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，∴排除②，
又∵当x≤0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，④正确.
(3)由已知可得：关于直线 对称.
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幻灯片 19(4)在同一坐标系中分别作出当01时，y=|ax|=a|x|(a>0)与y=x+a(a>0)的图象如图示，由图象得出a>1时符合要求.
答案：(1)①否②否③是④否 (2)④ (3)直线
(4)(1,+∞)
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幻灯片 20 作函数的图象
【方法点睛】作函数图象的方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.
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幻灯片 21(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
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幻灯片 22(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：
第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围.
第二步：化简函数表达式.
第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点).
第五步：描点、连线.
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幻灯片 23【提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.
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幻灯片 24【例1】作出下列函数的图象
(1)y=elnx;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=a|x|(00}且y=elnx=x(x>0)，
∴其图象如图(1).
o
（1）
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幻灯片 26(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).
（2）
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幻灯片 27(3)方法一：∵
所以只需作出函数y=ax(00，得单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞).令y′<0,得单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为
和-9，由此可得其图象大致如图(5).
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幻灯片 31【反思·感悟】要准确作出函数的大致图象，需做到：
(1)熟练掌握六类基本初等函数的图象；
(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.
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幻灯片 32【变式训练】分别画出下列函数的图象：
(1)y=|lgx|； (2)y=2x+2；
(3) (4)y=x2-2|x|-1．
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幻灯片 33【解析】(1)∵
∴函数y=|lgx|的图象，如图(1)；
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幻灯片 34(2)将函数y=2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y=2x+2的图象，如图(2)；
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幻灯片 35(3)∵ 可见原函数图象可由 图象向
左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图(3).
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幻灯片 36(4)∵ 且函数为偶函数，先用描点法作出
［0，+∞)上的图象，再根据对称性作出(-∞,0)上的图象.得
图象如图(4).
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幻灯片 37 识图与辨图
【方法点睛】1.知图选式的方法
(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性.
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.
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幻灯片 382.知式选图的方法
(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点.
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.
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幻灯片 39【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．
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幻灯片 40【例2】(1)(2012·南阳模拟)函数y=x+cosx的大致图象是( )
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幻灯片 41(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
(A)y=x2+1
(B)y=|x|+1
(C)
(D)
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幻灯片 42【解题指南】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.
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幻灯片 43【规范解答】(1)选B. 由y=x+cosx,得y′=1-sinx,令y′=0,得
sinx=1，
∴x=2kπ+ (k∈Z)，即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从
而排除C选项，又x=0时，y=1,即图象应过(0，1)点，再排除
A，比较B、D与y轴交点纵坐标与 的大小知应选B.
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幻灯片 44(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：
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幻灯片 45则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和
作出其图象知在(-2，0)上均为减函数.
又y=x3+1,x<0时，y′=3x2>0，
故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选C.
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幻灯片 46【反思·感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.
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幻灯片 47【变式训练】(1)(2012·蚌埠模拟)函数y=esinx(-π≤x≤π)的大致图象为( )
【解析】选D.令t=sinx(-1≤t≤1)，
∵t的变化趋势为：0→-1→0→1→0，
∴y=et的变化趋势为先减后增再减.
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幻灯片 48(2)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是( )
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幻灯片 49【解析】选A.方法一：∵函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0.故选A.
方法二：由函数f(x),g(x)的图象可知，f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数，则f(x)·g(x)是奇函数，可排除B，又∵函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞)，图象不经过坐标原点，可以排除C、D，故选A.
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幻灯片 50 函数图象的应用
【方法点睛】1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
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幻灯片 512.利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
3.利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
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幻灯片 522.利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
3.利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
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幻灯片 53【例3】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R)，且f(4)=0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.
【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.
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幻灯片 54【规范解答】(1)∵f(4)=0，∴4|m-4|=0，即m=4；
(2)∵f(x)=x|m-x|
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点.
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调
递减区间为［2，4］；
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幻灯片 55(4)从图象上观察可知：
不等式f(x)>0的解集为：{x|04}.
(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则04,∴由图象知，函数在［1，5］上的值域为［0，5］.
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幻灯片 57【反思·感悟】利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.
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幻灯片 58【变式备选】1.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈［-1,1)时，f(x)=x,则方程f(x)=lgx的根的个数是___________.
【解析】构造函数g(x)=lgx，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根.
答案：4
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幻灯片 592.使log2x<1-x成立的x的取值范围是____________.
【解析】构造函数f(x)=log2x,
g(x)=1-x，在同一坐标系中作出两者的
图象，如图所示，直接从图象中观察得
到不等式成立时x∈(0,1).
答案：(0，1)
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幻灯片 60【易错误区】作图不准确或数与形不吻合致误
【典例】(2011·新课标全国卷)函数 的图象与函数
y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【解题指南】在同一坐标系中画出函数 和y=2sinπx
(-2≤x≤4)的图象，然后根据图象探究交点横坐标之间满足的
关系，从而求解.
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幻灯片 61【规范解答】选D.由题意知 的图象是双曲线，
且关于点(1，0)成中心对称，又y=2sinπx的周期为
且也关于点(1，0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于
点(1，0)成中心对称，再结合
图象(如图所示)可知两图象在
［-2，4］上有8个交点，因此
8个交点的横坐标之和x1+x2+…
+x8=4×2=8.
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幻灯片 62【阅卷人点拨】通过对高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 63----
幻灯片 641.(2012·怀化模拟)函数 的图象大致是( )
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幻灯片 65【解析】选D.∵函数的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=
=-f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A、B，又由 =0得x=±1.故排
除C，所以选D.
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幻灯片 662.(2012·北京模拟)已知二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-
|2a-b|,则( )
(A)M>0 (B)M≥0
(C)M<0 (D)M=0
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幻灯片 67【解析】选C.由图象知
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幻灯片 683.(2011·天津高考)对实数a和b，定义运算“ ”：a b=
设函数f(x)=(x2-2) (x-1),x∈R.若函数y=f(x)-
c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
(A)(-1，1］∪(2，+∞)
(B)(-2，-1］∪(1，2］
(C)(-∞,-2)∪(1,2］
(D)［-2,-1］
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幻灯片 69【解析】选B.f(x)=
观察图象可知选项B正确.
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幻灯片 704.(2012·淮南模拟)已知 则下列
选项中错误的是( )
(A)①是f(x-1)的图象 (B)②是f(-x)的图象
(C)③是f(|x|)的图象 (D)④是|f(x)|的图象
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幻灯片 71【解析】选D. 因为函数f(x)= 的图象如
图所示
按选项逐个验证知①是f(x-1)的图象；②是f(-x)的图象；
③是f(|x|)的图象；而④不是|f(x)|的图象，故选D.
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