幻灯片 1第二节 三角函数的诱导公式
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幻灯片 2三年1考 高考指数:★
能利用单位圆中的三角函数线推导出 π±α的正弦、余
弦、正切的诱导公式.
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幻灯片 31.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点.
2.主要以选择题、填空题的形式考查.
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幻灯片 4三角函数的诱导公式
(1)三角函数的诱导公式:
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幻灯片 5(2)诱导公式的记忆方法与规律
①记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.(解释：公式中的角可以表示为k· ±α(k∈Z)的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作是锐角时原函数值的符号)
②可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考:“符号看象限”中符号是否与α的大小有关？
提示:无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ+α(k∈Z)，
π+α,-α,π-α, -α， +α分别是第一、三、四、二、一、
二象限角.
(2)sin(- )=________.
【解析】sin(- )=-sin(π+ )=sin =
答案：
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幻灯片 7(3)已知tan(π+α)=3,则 =_________.
【解析】∵tan(π+α)=3,∴tanα=3.
原式
答案：7
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幻灯片 8 利用诱导公式求值
【方法点睛】利用诱导公式解题的原则和步骤
1.诱导公式应用的原则：
负化正、大化小，化到锐角为终了.
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幻灯片 92.诱导公式应用的步骤：
任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数
→ 0～2π的角的三角函数 → 锐角三角函数
【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.
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幻灯片 10【例1】(1)已知tanα=2,sinα+cosα<0,
则 =__________.
(2)已知α为第三象限角,
f(α)=
①化简f(α)；
②若cos 求f(α)的值.
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幻灯片 11【解题指南】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tanα=2,结合α的范围和同角三角函数关系式求解.
(2)①直接利用诱导公式化简约分.②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α).
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幻灯片 12【规范解答】(1)原式= =sinα，
∵tanα=2>0,∴α为第一象限角或第三象限角，
又sinα+cosα<0,∴α为第三象限角.
由tanα= =2,得sinα=2cosα代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=
答案：
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幻灯片 13(2)①f(α)=
②∵
∴-sinα= 从而sinα=
又α为第三象限角,∴cosα=
即f(α)的值为
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幻灯片 14【互动探究】把本例中(1)的已知条件改为tanα=3,
sinα+cosα>0,再求所给式子的值.
【解析】∵tanα=3,sinα+cosα>0,
∴α为第一象限角, 得sinα=3cosα,代入
sin2α+cos2α=1,解得:
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幻灯片 15【反思·感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.
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幻灯片 16【变式备选】已知sin(α- )=a(a≠±1,a≠0),
求cos(α+ )·tan(α- )+ 的值.
【解析】
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幻灯片 17 利用诱导公式化简证明
【方法点睛】1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
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幻灯片 182.三角恒等式证明的常用方法
(1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则).
(2)两边向中间证.
(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.
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幻灯片 19【例2】(1)化简:
(2)求证:对于任意的整数k,
【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果.
(2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.
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幻灯片 20【规范解答】(1)原式=
(2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),
则原式=
=
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z)，
则原式=
=
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幻灯片 21故对任意的整数k,
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幻灯片 22【互动探究】将本例(1)化简式变为
如何化简?
【解析】原式
=
=
=
=
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幻灯片 23【反思·感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注意把任意角α看成锐角来处理.
2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键.
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幻灯片 24【变式备选】(1)化简
(2)求证:
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幻灯片 25【解析】(1)因为
所以原式=-sinα+sinα=0.
(2)因为左边=
=
= =-1=右边,
所以原等式成立.
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幻灯片 26 诱导公式在三角形中的应用
【方法点睛】三角形中的诱导公式
在三角形ABC 中常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,
sin( )=sin( )=
cos( )=cos( )=
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幻灯片 27【例3】在△ABC中，若sin(2π-A)=- sin(π-B), cosA=
- cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA，进而可求得角A,B,C.
【规范解答】由已知得sinA= sinB, cosA= cosB两式平
方相加得2cos2A=1,
即cosA= 或cosA=-
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幻灯片 28(1)当cosA= 时,cosB=
又角A、B是三角形的内角,∴A= B=
∴C=π-(A+B)=
(2)当cosA=- 时，cosB=-
又角A、B是三角形的内角，∴A= B= 不合题意.
综上知，A= B= C=
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幻灯片 29【反思·感悟】1.三角形中常用角的变形结论有：A+B=π-C；2A+2B+2C=2π；
2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角.
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幻灯片 30【变式训练】在三角形ABC中，
(1)求证：
(2)若 tan(C-π)<0，求证：三角形ABC为钝
角三角形.
【证明】(1)在△ABC中，A＋B＝π-C,∴
∴
∴
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幻灯片 31(2)若cos( +A)sin( +B)tan(C-π)<0,
则(-sinA)(-cosB)tanC<0,即sinAcosBtanC<0,
∵在△ABC中,00, 或
∴B为钝角或C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
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幻灯片 32【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答
【典例】(12分)(2012·合肥模拟)已知 α∈(0,π),
(1)求 的值;
(2)求cos(2α- )的值.
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幻灯片 33【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cosα和sinα，把所给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得.
【规范解答】(1)∵ ………………2分
∴cosα=- 又α∈(0,π),∴sinα= ……4分
=
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幻灯片 34= …………………………6分
(2)∵cosα=- sinα= α∈(0,π)⇒sin2α=
cos2α=- ………………………………………………10分
cos(2α- )= ………………12分
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幻灯片 35【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 36----
幻灯片 371.(2012·中山模拟)已知tanα=-a,则tan(π-α)的值等于
( )
(A)a (B)-a (C) (D)-
【解析】选A.tan(π-α)=-tanα=a.
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幻灯片 382.(2012·福州模拟)已知 则
的值等于( )
【解析】选A.
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幻灯片 393.(2012·苏州模拟) +sin21π的值为______.
【解析】原式=cos(2π+ )-tan(π+ )+0
=
答案：
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幻灯片 404.(2012·广州模拟)若sin(π-α)= 且α∈(- 0),
则cos(2π-α)的值是_______.
【解析】由sin(π-α)= 得
∵α∈(- ,0),
∴
∴
答案：
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