幻灯片 1第八节 应用举例
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幻灯片 2三年7考 高考指数:★★
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
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幻灯片 31.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点.
2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.
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幻灯片 41.实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).
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幻灯片 5(2)方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
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幻灯片 6(3)方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋
转α°到达目标方向.
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋
转α°到达目标方向.
③南偏西等其他方向角类似.
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幻灯片 7(4)坡度
①定义:坡面与水平面所成的二面角的
度数(如图④，角θ为坡角)．
②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之
比(如图④，i为坡比).
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幻灯片 8【即时应用】
(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？
提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.
(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？
提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.
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幻灯片 9(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋
观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的
北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东
60°，则灯塔A在灯塔B的_______方向.
【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.
∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
答案：北偏西10°
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幻灯片 102.解三角形应用题的一般步骤
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.
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幻灯片 11【即时应用】
(1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km.
(2)如图，在坡度为15°的观礼台
上，某一列座位与旗杆在同一个
垂直于地面的平面上，在该列的
第一排和最后一排测得旗杆顶端
的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为
米，则旗杆的高度为______米.
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幻灯片 12【解析】(1)如图所示，
由余弦定理可得：
AC2=100+400-2×10×20×cos120°
=700，∴AC= (km).
(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶
端为点C，则
在△ABC中，AB＝ ∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，
所以∠ACB＝30°，
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幻灯片 13由正弦定理，得 故h＝30米.
答案：(1) (2)30
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幻灯片 14 测量距离问题
【方法点睛】求距离问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
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幻灯片 15【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，
在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物
C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
AB＝120 m，则这条河的宽度为______.
(2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为______.
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幻灯片 16【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.
【规范解答】(1)如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，
则CD为所求宽度，
在△ABC中，
∵∠CAB＝30°，
∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m.
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幻灯片 17在Rt△ACD中，
CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，
因此这条河宽为60 m.
答案：60 m
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幻灯片 18(2)如图所示，在△ACD中，
∵∠ADC＝30°，
∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝CD＝
在△BDC中，
∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理可得
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幻灯片 19在△ABC中，由余弦定理可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
∴
∴AB＝ (km).
即两目标A、B间的距离为 km.
答案： km
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幻灯片 20【互动探究】若将本例(2)中A、B两点放到河的两岸,一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A、B两点的距离为______m.
【解析】由正弦定理得
∴ (m).
答案：
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幻灯片 21【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.
2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.
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幻灯片 22【变式备选】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
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幻灯片 23【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.
在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
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幻灯片 24则sin2C =
所以sin∠MAC = sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC
=
在△MAC中，由正弦定理得
从而有MB=MC-BC=15(千米),
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.
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幻灯片 25 测量高度问题
【方法点睛】处理高度问题的注意事项
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
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幻灯片 26【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.
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幻灯片 27【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度.
【解题指南】设出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.
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幻灯片 28【规范解答】如图，设电视塔AB的高为x m，
则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴
在△BDC中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，
即 －2·x·40·cos120°，
解得x＝40，∴电视塔高为40米.
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幻灯片 29【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.
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幻灯片 30【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.
【解析】如图：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，
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幻灯片 31由正弦定理得
∴
过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.
在Rt△BED中，
∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝DBsin15°＝ (米),
∴在Rt△ABE中，
所以塔高为 米.
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幻灯片 32 测量角度问题
【方法点睛】测量角度问题的一般步骤
(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离;
(2)用正弦定理或余弦定理解三角形;
(3)将解得的结果转化为实际问题的解．
同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.
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幻灯片 33【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处 海
里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里
的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船.同
时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃
窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时
间？
【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出
三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.
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幻灯片 34【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，
则有CD= t,BD=10t.
在△ABC中， AC=2,∠BAC=120°.
利用余弦定理可得
由正弦定理，得
得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直.
于是∠CBD=120°.
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幻灯片 35在△BCD中，由正弦定理，得
得∠BCD=30°, 又
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幻灯片 36所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少
要花 小时.
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幻灯片 37【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当地简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.
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幻灯片 38【变式训练】如图，当甲船位于A处时获
悉，在其正东方向相距20海里的B处有一
艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救
援，同时把消息告知在甲船的南偏西
30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船
应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(已知
角度精确到1°)?
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幻灯片 39【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+
102－2×20×10×cos120°=700.
所以
∵
∴
∵∠ACB<90°,∴∠ACB=41°.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
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幻灯片 40【变式备选】如图,某污水处理厂要在
一个长方体污水处理池的池底(ABCD)
铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角
顶点)来处理污水,管道越长,污水净化
效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E，F分别落在
线段BC,AD上.已知AB=20 m, m,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示成θ的函数,并写出定义域；
(2)若 求此时管道的长度L；
(3)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
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幻灯片 41【解析】(1)在Rt△BHE中，
在Rt△AFH中，
在Rt△EFH中，
所以管道总长L=FH+EH+EF=
(2)因为sinθ+cosθ= 所以sinθcosθ=
代入(1)中结论得 (m)；
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幻灯片 42(3)因为
设sinθ+cosθ=t=
∴
所以
此时 或 所以当 或 时,铺设的管道最
长,为 m.
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幻灯片 43【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答
【典例】(12分)(2012·三明模拟)如
图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂
直的平面内，B，D为两岛上的两座灯
塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点
和D点的仰角分别为75°，30°，于
水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km.
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幻灯片 44(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？
(2)求B，D间的距离.
【解题指南】作出图形确定利用的三角形，(1)要充分利用仰角和俯角与三角形中的角的关系；(2)利用正弦定理正确地解答.
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幻灯片 45【规范解答】(1)如图，
在△ADC中，∠DAC=30°，
∠ADC=60°－∠DAC=30°,
∴CD=AC=0.1 km，
………………………………4分
又∠BCD=180°－60°－60°
=60°，∴∠CED=90°，
∴CB是△CAD底边AD的中垂线，
∴BD=BA.……………………………………………………6分
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幻灯片 46(2)在△ABC中，由正弦定理得：
即 ………………………8分
∴BD= (km).……………………………………11分
答：B，D间的距离是 km.……………………12分
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幻灯片 47【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：
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幻灯片 48----
幻灯片 491.(2012·潍坊模拟)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地
相距 海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而
且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( )
(A)100海里 (B)200海里
(C)100海里或200海里 (D) 海里
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幻灯片 50【解析】选C.设基地位于O处,根据正弦定理可知
∴B=60°或120°.
当B=60°时,∠BOA=90°,A=30°,
BA=2OB=200(海里),
当B=120°时,A=∠AOB=30°,
∴OB=AB=100(海里),
故渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里.
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幻灯片 512.(2012·西安模拟)如图，货轮在
海上以35n mile/h的速度沿方位角
(从正北方向顺时针转到目标方向线
的水平角)为152°的方向航行.为了
确定船位，在B点处观测到灯塔A的
方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°，则此时货轮与灯塔之间的距离为______n mile.
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幻灯片 52【解析】在△ABC中，∠ABC=152°-122°=30°，C=180°-152°+32°=60°，
A=180°-30°-60°=90°，
BC= n mile，
∴ (n mile).
答案：
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幻灯片 533.(2012·黄石模拟)如图，一船在海
上由西向东航行，在A处测得某岛M的
方位角为北偏东α角，前进4 km后在
B处测得该岛的方位角为北偏东β角.
已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁，现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？
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幻灯片 54【解析】(1)作MC⊥AB，垂足为C，由已知α=60°,β=30°,
所以∠ABM=120°，
∠AMB=30°，
所以BM=AB=4，
∠MBC=60°，
所以MC=BM·sin60°=
所以该船有触礁的危险.
设该船自B处向东航行至点D有触礁危险，
则 (km),
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幻灯片 55所以，BD=BC-DC=1.5(km),所以，该船自B处向东航行1.5 km会有触礁危险.
(2)设CM=x,在△MAB中，由正弦定理得,
即
而x=BM·sin∠MBC=BM·cosβ=
所以，当x>3.5,
即 即 时，该船没有触礁危险.
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