幻灯片 1第五节 数列的综合应用
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幻灯片 2三年14考 高考指数:★★★
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.
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幻灯片 31.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式.
2.常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化与化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查.
3.各种题型都有可能出现.
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幻灯片 4数列的综合应用
(1)解答数列应用题的步骤
①审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.
③求解——求出该问题的数学解.
④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
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幻灯片 5具体解题步骤用框图表示如下：
实际应用题
构建数列模型
与数列有关的
数学问题
数学问题的解
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幻灯片 6(2)数列应用题常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
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幻灯片 7【即时应用】(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？
提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1+rn)，属于等差模型.复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1+r)n，属于等比模型.
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幻灯片 8(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用
零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期
1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月
利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为
_______元.
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幻灯片 9【解析】由题意知，小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+
…+2ar+ar= =78ar.
答案：78ar
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幻灯片 10(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒
的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样
的病毒(假设病毒不繁殖)，则细菌将病毒全部杀死至少需要
_______秒钟.
【解析】设需要n秒钟，
则1+21+22+…+2n-1≥100,
∴ ∴n≥7.
答案：7
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幻灯片 11 等差、等比数列的综合应用
【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项
(1)要重视审题，善于联系.将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.
(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法.
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幻灯片 12【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解题指南】(1)列出关于a1,d的方程组，求出a1,d.
(2)先求 再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn.
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幻灯片 13【规范解答】(1)依题意得
解得
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即an=2n+1.
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幻灯片 14(2) =3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,
Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n
则-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
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幻灯片 15【反思·感悟】1.解答本题(1)时，列出关于a1,d的方程组是关键，求解本题(2)时，求出bn是关键.
2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对等差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．
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幻灯片 16【变式训练】数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1= 2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.
【解析】(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an，则an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1.
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幻灯片 17(2)设{bn}的公差为d,
由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可设b1=5-d,b3=5+d，又a1=1,a2=3,a3=9，由题意可得
(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
∴d=2,b1=3,
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幻灯片 18【变式备选】数列{an}是首项a1=4的等比数列，其前n项和为Sn,且S3，S2，S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2|an|(n∈N*)，设Tn为数列 的前n项和，求证：
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幻灯片 19【解析】设数列{an}的公比为q,
(1)若q=1,则S3=12,S2=8,S4=16,
显然S3，S2，S4不成等差数列，与题设条件矛盾，
所以q≠1.
由S3，S2，S4成等差数列，得
化简，得q2+q-2=0,
∴q=-2或q=1(舍去)，
∴an=4(-2)n-1=(-2)n+1.
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幻灯片 20(2)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1.
当n=1时，
当n≥2时，
则
综上可知Tn< 对任意n∈N*恒成立.
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幻灯片 21 数列的实际应用
【方法点睛】1.数列实际应用题的解题策略
解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．
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幻灯片 222.处理分期付款问题时的注意事项
(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．
(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系.
【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是要弄清项数.
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幻灯片 23【例2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，
并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后
每年投入将比上年减少 本年度当地旅游业估计收入400万
元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业
收入每年会比上年增加
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收
入为bn万元，写出表达式；
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
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幻灯片 24【解题指南】解决本题(1)的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第(2)问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解.
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幻灯片 25【规范解答】(1)第一年投入为800万元，
第二年投入为800(1- )万元，
第n年的投入为800(1- )n-1万元，
所以,n年内的总投入为：an=800+800(1- )+…+800(1- )n-1
=4 000-4 000
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(1+ )
万元.
第n年旅游业收入为400(1+ )n-1万元,所以,n年内的旅游业总
收入为bn=400+400(1+ )+…+400(1+ )n-1=1 600 -1 600.
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幻灯片 26(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn-an>0,
即1 600 -1 600-4 000+4 000 >0,
化简得2 +5 -7>0,
设 =x,代入上式，得5x2-7x+2>0,
解此不等式，得 或x>1(舍去)，
即 由此得n≥5.
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.
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幻灯片 27【反思·感悟】1.解答本题时，理解题意是关键，其中an,bn是等比数列的前n项和，而非第n项.
2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型.
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幻灯片 283.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关.
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幻灯片 29【变式训练】流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制.从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人.问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.
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幻灯片 30【解析】设从11月1日起第n(n∈N*,1≤n≤30)日感染此病毒的
新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依
次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，
前n日的患者总人数即该数列的前n项之和
=25n2-5n.
从第n+1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为［20+(n-1)·50］-30=50n-60,公差为-30，项数为(30-n),
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幻灯片 31(30-n)日的患者总人数为T30-n=(30-n)·(50n-60)+
=(30-n)·(65n-495)=-65n2+2 445n-
14 850.
依题意,得Sn+T30-n=8 670，即(25n2-5n)+(-65n2+2 445n-
14 850)=8 670.化简得n2-61n+588=0，解得n=12或n=49.
∵1≤n≤30，∴n=12.
第12日的新患者人数为20+(12-1)×50=570.
∴11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，
且这一天的新患者人数为570人.
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幻灯片 32【变式备选】气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知
这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费
为 元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算
是指使用这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )
(A)600天 (B)800天 (C)1 000天 (D)1 200天
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幻灯片 33【解析】选B.由第n天的维修保养费为 元(n∈N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.
设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为
当且仅当 时，取得最小值，此时n=800.
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幻灯片 34 数列与函数、不等式的综合应用
【方法点睛】1.数列与函数的综合问题
一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题.
2.数列与不等式的综合问题
(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.
(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明.
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幻灯片 35【例3】已知函数 数列{an}满足
n∈N*,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)令bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若
对一切n∈N*成立，求最小正整数m.
【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系，从而判断出数列的类型.
(2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问.
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幻灯片 36【规范解答】(1)
∴{an}是以 为公差的等差数列.
又
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
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幻灯片 37(3)当n≥2时，
又
∴Sn=b1+b2+…+bn
对一切n∈N*成立.
递增，且
即m≥2 012.
∴最小正整数m=2 012.
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幻灯片 38【反思·感悟】1.在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性.
2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选.
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幻灯片 39【变式训练】已知数列{an},{bn}，其中a1= 数列{an}的前n项和Sn=n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*,n≥2，有
恒成立？若存在，求出m的最小值.
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幻灯片 40【解析】(1)因为Sn=n2an(n∈N*),
当n≥2时，Sn-1=(n-1)2an-1.
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1.
所以(n+1)an=(n-1)an-1.
即
又 所以
当n=1时，上式也成立，故 因为b1=2,bn+1=2bn.
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n.
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幻灯片 41(2)由(1)知，bn=2n.
则
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*,n≥2,有
恒成立,
即 恒成立.
由 解得m≥16.
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*,n≥2,有
恒成立.此时m的最小值为16.
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幻灯片 42【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)
如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交
曲线y=ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点
处的切线与x轴交于点P2.再从P2作
x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列
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幻灯片 43点：P1，Q1;P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求xk与xk-1的关系(k=2,…,n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
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幻灯片 44【解题指南】(1)求出曲线y=ex在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方
程，令y=0可得xk与xk-1的关系.
(2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解.
【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),∵y=ex,∴y′=ex,
…………………………………………………………………3分
∴Qk-1(xk-1,exk-1)，在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程
是y-exk-1=exk-1(x-xk-1),令y=0,则xk=xk-1-1(k=2,…,n).
…………………………………………………………………6分
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幻灯片 45(2)∵x1=0,xk-xk-1=-1,∴xk=-(k-1),
∴|PkQk|=exk=e-(k-1),……………………………………9分
于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
…………………………………………………………12分
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2012·运城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值等于( )
(A)52 (B)40 (C)26 (D)20
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幻灯片 49【解析】选B.由题意，知
∴Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2,∴an=3n-5,
因此数列{an}是等差数列，a5=10,
∴a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40.
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幻灯片 502.(2012·赣州模拟)已知函数
且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
(A)0 (B)100 (C)-100 (D)10 200
【解析】选B.∵an=f(n)+f(n+1),
∴a1+a2+a3+…+a100=［f(1)+f(2)］+［f(2)+f(3)］+［f(3)+ f(4)］+…+［f(100)+f(101)］=［(32-22)+(52-42)+(72-62)
+…+(1012-1002)］+［(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+(992-
1002)］=(5+9+13+…+201)-(3+7+11+…+199)=100.
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幻灯片 513.(2012· 黄冈模拟)某企业2011年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2011年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为______万元.
【解析】假设每年还x万元，则有x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2 +x(1+r)+x=a(1+r)5,
即
答案：
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幻灯片 524.(2012·临沂模拟)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，a1=b1=1且a2=b2+1，a3=b3+1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，求满足
的最小正整数n.
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幻灯片 53【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
所以an=2n-1，bn=2n-1.
(2)Sn=1+2+22+…+2n-1=2n-1，
∴2n＞103.
∵n是正整数，∴满足要求的最小正整数n是7.
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