幻灯片 1第一节 不等关系与不等式
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幻灯片 2三年21考 高考指数:★★★★
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；
2.了解不等式(组)的实际背景；
3.掌握不等式的性质及应用.
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幻灯片 31.不等式的性质是考查的重点;
2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇则以解答题为主.
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幻灯片 41.两实数比较大小的法则
关 系
法 则
a＞b
a=b
a＜b
a-b＞0
a-b=0
a-b＜0
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列不等式是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)
①m-3＞m-5 ( )
②5-m＞3-m ( )
③5m＞3m ( )
④5+m＞5-m ( )
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幻灯片 6【解析】m-3-m+5=2＞0，故①正确；
5-m-3+m=2＞0，故②正确；
5m-3m=2m，无法判断其符号，故③错；
5+m-5+m=2m,无法判断其符号，故④错.
答案：①√ ②√ ③× ④×
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幻灯片 72.不等式的基本性质
性质
具体名称
性质内容
特别提醒
（1）
（2）
（3）
（4）
对称性
传递性
可加性
可乘性
a>b
a>b,b>c
a>b
_______
_______
⇔
⇒
注意c
的符号
⇔
bc
a+c>b+c
ac>bc
acb>0
a>b>0
a,b同
为正数
⇒
⇒
a+c>b+d
_______
ac>bd
an>bn
_______
⇒
⇒
⇒
⇒
(n∈N,n≥2)
(n∈N,n≥2)
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幻灯片 9【即时应用】
(1)已知a、b、c、d∈R,且c＞d,则“a+c＞b+d”是“a＞b”的________条件.
(2)若a＜0,-1＜b＜0，则a,ab,ab2的大小关系为________.
(3)已知a,b,c∈R，有以下命题：
①若a>b,则ac2>bc2;
②若ac2>bc2,则a>b;
③若a>b,则a·2c>b·2c.
以上命题中正确的是________(请把正确命题的序号都填上).
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幻灯片 10【解析】(1)若a+c＞b+d,c＞d
不妨令a=1,b=2,c=5,d=3，则上式成立，
但a＜b，故充分条件不具备，反之，若a＞b,c＞d,
则a-b＞0,c-d＞0，两式相加得
a-b+c-d＞0，即a+c＞b+d，
故必要条件具备，故应为必要不充分条件.
(2)由已知得0＜b2＜1,a＜0,故ab＞0,ab2＜0且a＜ab2，故a＜ab2＜ab.
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幻灯片 11(3)当c=0时，①不正确；若ac2>bc2，则c2>0,
∴a>b，故②正确；由2c>0知③正确.
答案：(1)必要不充分 (2)a＜ab2＜ab
(3)②③
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幻灯片 123.不等式的一些常用性质
(1)倒数性质
①a＞b,ab＞0⇒ ___
②a＜0＜b⇒ ___
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ ___
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒ ___ ___
＜
＜
＞
＜
＜
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幻灯片 13(2)有关分数的性质
若a＞b＞0,m＞0,则
①真分数的性质：
___ ___ (b-m＞0).
②假分数的性质：
___ ___ (b-m＞0).
＜
＞
＞
＜
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幻灯片 14【即时应用】
(1) 与 的大小为______.
(2)若0＜a＜b，c＞0，则 的大小关系为______.
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幻灯片 15【解析】(1)∵
又
∴
故
(2)∵0＜a＜b,∴ 又c＞0,
故 故
答案：(1)
(2)
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幻灯片 16 用不等式(组)表示不等关系
【方法点睛】实际应用中不等关系与数学语言间的关系
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如下表.
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幻灯片 17----
幻灯片 18【例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可.
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幻灯片 19【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题
意可知
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幻灯片 20【反思·感悟】用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围.
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幻灯片 21【变式训练】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则由题
意可得 即
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幻灯片 22 比较大小
【方法点睛】比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
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幻灯片 23(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.
(3)特值法
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.
【提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论，从而误解.
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幻灯片 24【例2】(1)(2012·昌平模拟)若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
(A)a2+1＞b2+1 (B)
(C)lg(a-b)＞0 (D)
(2)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( )
(A)M＜N (B)M＞N
(C)M=N (D)不确定
(3)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小.
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幻灯片 25【解题指南】(1)运用特殊值验证即可.(2)可用作差法求解.
(3)利用作商法求解判断.
【规范解答】(1)选D.令 则A、B、C均不成立，故选D.
(2)选B.
∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)
=(a1-1)(a2-1)
又a1,a2∈(0,1)，
故(a1-1)(a2-1)＞0,故M＞N.
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幻灯片 26(3)∵
又a＞b＞0,故
∴ 即 又
∴aabb＞abba,
∴aabb与abba的大小关系为：aabb＞abba.
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幻灯片 27【互动探究】若将本例(2)中，“a1，a2∈(0,1)”改为“a1，a2∈(1,+∞)”，结论又将如何？
【解析】M-N=a1a2-a1-a2+1
=a1(a2-1)-(a2-1)
=(a1-1)(a2-1)，
∵a1，a2∈(1,+∞),∴(a1-1)(a2-1)＞0,
故M-N＞0，故M＞N.
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幻灯片 28【反思·感悟】1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形.
2.当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法.
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幻灯片 29【变式备选】比较下列各组中两个代数式的大小.
(1)3m2-m+1与2m2+m-3;
(2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(x>y>0);
(3)已知a>0,b>0，比较 与 的大小.
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幻灯片 30【解析】(1)∵(3m2-m+1)-(2m2+m-3)
=m2-2m+4=(m-1)2+3＞0,
∴3m2-m+1＞2m2+m-3.
(2)∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］
=-2xy(x-y).
∵x>y>0,
∴-2xy(x-y)<0,
∴(x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y).
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幻灯片 31(3)因为
所以
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幻灯片 32 不等式性质的应用
【方法点睛】不等式性质的应用类型分析
(1)与常用逻辑用语结合考查充要条件，
(2)应用性质比较大小，
(3)求范围，并且求参数范围问题是考查的热点问题，它常与三角函数等结合考查.
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幻灯片 33【例3】(1)(2011·浙江高考)设a,b为实数，则“0＜ab＜1”
是“ ”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.
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幻灯片 34【解题指南】(1)利用不等式的基本性质进行判断.
(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.
【规范解答】(1)选D.0＜ab＜1可分为两种情况：
当a＞0,b＞0时， 当a＜0,b＜0时， 故不充分;反
之，当 时，有ab＜0，故不必要，所以应为既不充
分也不必要条件.
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幻灯片 35(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b).
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
于是得
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
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幻灯片 36方法二:
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
即5≤f(-2)≤10.
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幻灯片 37【互动探究】若本例(2)中的条件不变，求f(2)的取值范围.
【解析】设f(2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，
则4a+2b=m(a-b)+n(a+b)，即4a+2b=(m+n)a+(n-m)b.
于是得
所以f(2)=f(-1)+3f(1),
又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴7≤f(-1)+3f(1)≤14,
即7≤f(2)≤14.
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幻灯片 38【反思·感悟】1.判断一个与不等式有关的命题的真假，首先找到与命题相关的性质，明确不等式成立的条件，然后再判断；对于选择题、填空题要注意特殊值法的应用.
2.根据不等式的性质求范围时，一定要利用不等式的性质进行变形求解，如不等式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负；同向不等式只能相加，不能相减等.同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性.
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幻灯片 39【变式备选】1.已知12
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