幻灯片 1第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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幻灯片 2 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！
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幻灯片 3三年4考 高考指数:★★
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直；
3.掌握确定直线位置的几何要素；
4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.
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幻灯片 41.直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点；
2.常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想；
3.多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目.
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幻灯片 51.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴______；
一个基准：取_____作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向.
②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为___.
相交
x轴
0°
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幻灯片 6(2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=_____;
②计算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x
轴，则k=_____________.
tanθ
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幻灯片 7【即时应用】
(1)过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_______；
(2)直线 x-y+1=0的倾斜角为_______.
【解析】(1)由斜率公式得： 解得m=1.
(2)∵ x-y+1=0的斜率k=
即倾斜角α的正切值tanα= 又∵0≤α＜π，∴α=
答案：(1)1 (2)
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幻灯片 82.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系
直线l1 、l2不重合，斜率分别为k1，k2且都存在
l1∥l2
⇔
k1=k2
l1⊥l2
⇔
k1·k2=-1
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幻灯片 9【即时应用】
(1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1∥l2,则a=_____；
(2)直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1=______；若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_____.
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幻灯片 10【解析】(1)l1与l2的斜率分别为
由l1∥l2可知：a=-2.
(2)由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30°=
∵ l1∥l，∴
∵l⊥l2,∴k2·k=-1,∴
答案：(1)-2 (2)
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幻灯片 113.直线方程的几种形式
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幻灯片 12【即时应用】
(1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？
提示：能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
当x1≠x2且y1≠y2时，直线方程为：
可化为上式；
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幻灯片 13当x1≠x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式；
当y1≠y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式；
综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
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幻灯片 14(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 则直线l的方程为
_______________.
【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：
y-5= (x+2)，即3x+4y-14=0.
答案：3x+4y-14=0
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幻灯片 15(3)经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为_______________.
【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为
即3x+2y+1=0.
答案：3x+2y+1=0
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幻灯片 16 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！
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幻灯片 17 直线的倾斜角与斜率
【方法点睛】
1.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一
般根据k=tanα求斜率；
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根据
斜率公式 (x1≠x2)求斜率.
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幻灯片 182.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
【提醒】对于直线的倾斜角α，斜率k=tanα(α≠90°)，若已知其一的范围可求另一个的范围.
0
k＞0
不存在
k ＜ 0
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幻灯片 19【例1】(1)(2011·福州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
(A)[0, ] (B)[ π)
(C)[0, ]∪( π) (D)[ )∪[ π)
(2)已知两点A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为_________；
(3)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_______.
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幻灯片 20【解题指南】(1)直线倾斜角与直线的斜率有关，而已知直线的方程，因此可先求直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围；(2)先由公式法求出斜率，再求倾斜角；
(3)直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧(或A、B之一在l上)求解.
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幻灯片 21【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0的斜率
且-1≤ ＜0，所以直线的倾斜角α的取值范围是 ≤α<π.
(2)因为A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，所以直线AB的斜率
所以直线的倾斜角为
答案：
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幻灯片 22(3)方法一：因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)，
所以
如图所示：
因此，直线l斜率k的取值范围为k≤-4或k≥
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幻灯片 23方法二：依题设知，直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即
kx-y+1-k=0,
若直线l与线段AB有交点，则A、B两点在直线l的异侧(或A、B
之一在l上)
故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0，
即(k+4)(4k-3)≥0,解得：k≤-4或k≥
答案：k≤-4或k≥
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幻灯片 24【互动探究】本例(1)中的直线方程改为“ (-a2+1)x+y+1=0”，
结果如何？
【解析】由直线方程(-a2+1)x+y+1=0可得该直线的斜率k=a2-1≥
-1，所以直线的倾斜角α的取值范围为0≤α＜ 或 ≤α＜π.
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幻灯片 25【反思·感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解
题线索，如本例第(1)题由直线的方程，可求出直线的斜率，
由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围；
2.已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求
k=tanα的值域问题；已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范
围，实质上是在［0， )∪( π)上解关于正切函数的三角不
等式问题.由于函数k=tanα在［0， )∪( π)上不单调，故
一般借助函数图象来解决此类问题.
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幻灯片 26【变式备选】若直线l:y=kx- 与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
(A)［ ) (B)( )
(C)( ) (D)［ ］
【解析】选B.∵直线l恒过定点
(0, ), 作出两直线的图象，
如图所示，从图中可以看出，直
线l的倾斜角的取值范围应为( ).
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幻灯片 27 直线平行、垂直关系的判断及应用
【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.
(2)已知两直线的一般方程
可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：
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幻灯片 28
A1A2+B1B2=0
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幻灯片 29【例2】(1)(2012·武汉模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2)已知过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_______；
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幻灯片 30(3)已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),
C(3,2),D(2,3),试判断该四边形的形状.
【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直，由两直线垂直是否能得出a=1；(2)可根据两直线平行，斜率相等，得出一个等式，解方程即可求值；(3)分别求出四条边的斜率及其边长，即可判断四边形的形状.
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幻灯片 31【规范解答】(1)选C.当a=1时，直线x-ay=0可化为x-y=0,
此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直；
当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时，1×1+1×(-a)=0,
解得：a=1,
因此，“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要条件.
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幻灯片 32(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2，
又因为过A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，
所以 解得m=-8.
答案：-8
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幻灯片 33(3)因为四边形的顶点坐标为A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),所以
∴AB∥CD，BC∥AD，且AB⊥BC，AB⊥AD.
又因为
即|AB|≠|AD|，
所以，四边形ABCD为长方形.
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幻灯片 34【互动探究】本例(3)中条件不变，试求该四边形的四条边所在的直线方程.
【解析】因为A(0,1)，B(1,0)，所以AB边所在的直线方程为：
即x+y-1=0;
又因为B(1,0)，C(3,2)，所以BC边所在的直线方程为：
即x-y-1=0；
同理可得：CD边所在的直线方程为：x+y-5=0；
AD边所在的直线方程为：x-y+1=0.
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幻灯片 35【反思·感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.
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幻灯片 36【变式备选】若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为______________.
【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为:
设所求直线的斜率为k′，
∵所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，∴k·k′=-1,
∴
∴所求直线方程为
即:3x+2y-1=0.
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幻灯片 37方法二：由已知,设所求直线l的方程为：
3x+2y+C=0.
又l过点(-1,2),∴3×(-1)+2×2+C=0,
得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0.
答案：3x+2y-1=0
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幻灯片 38 直线方程的综合应用
【方法点睛】直线方程综合问题的类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x、y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.
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幻灯片 39【例3】已知直线l过点P(3,2),且
与x轴、y轴的正半轴分别交于A、
B两点,如图所示,求△ABO的面积
的最小值及此时直线l的方程.
【解题指南】先设出AB所在的直线方程，再求A、B两点的坐标，写出表示△ABO的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值.
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幻灯片 40【规范解答】方法一：由题可设A(a,0),B(0,b)(a＞0,b＞0),则直线l的方程为
∵l过点P(3,2),∴
且a>3,b>2.
从而
故有
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幻灯片 41当且仅当
即a=6时,(S△ABO)min=12,此时
∴此时直线l的方程为 即2x+3y-12=0.
方法二：由题可设直线方程为 (a＞0,b＞0),
代入P(3,2),得
得ab≥24,从而S△ABO= ab≥12,
当且仅当 时,等号成立,S△ABO取最小值12，
此时
∴此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 42方法三：依题意知,直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0),
则有A( 0),B(0,2-3k),
∴
当且仅当 即k= 时,等号成立，S△ABO取最小值12.
此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 43方法四：如图所示,过P分别作x轴,
y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.
设θ=∠PAM=∠BPN,
显然θ∈(0, )，
则S△ABO=S△PBN+S四边形NPMO+S△PMA
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幻灯片 44当且仅当
即tanθ= 时,S△ABO取最小值12,
此时直线l的斜率为 其方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 45【反思·感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线方程的各种形式，以便简化运算.
2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、
不等式的知识或利用对称性解决.
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幻灯片 46【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,
令 解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).
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幻灯片 47(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为 在y轴
上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解之得k>0;
当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k≥0.
(3)由l的方程，得A( 0),B(0,1+2k).
依题意得 解得k>0.
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幻灯片 48∵
“=”成立的条件是k>0且4k= 即k=
∴Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.
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幻灯片 49 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。
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幻灯片 50【创新探究】与直线方程有关的创新命题
【典例】(2011·安徽高考)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
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幻灯片 51④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.
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幻灯片 52【规范解答】①正确.例如 当x是整数时,y是无
理数,(x,y)不是整点；②不正确,如y= 过整点(1,0)；
③设y=kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2)，则有y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2
=k(x1-x2)，则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上，通过这
种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移
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幻灯片 53y=kx知对于y=kx+b也成立，所以③正确；④不正确,如
当x为整数时,y不是整数,此直线不经过无穷多个
整点；⑤正确,如直线y= 只经过整点(0,0).
答案：①③⑤
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幻灯片 54【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 55----
幻灯片 561.(2012·福州模拟)已知直线l1的倾斜角为 直线l2经过点
A(3，2)，B(a,-1),且l1与l2垂直，则a等于( )
(A)-4 (B)-2
(C)0 (D)2
【解析】选C.依题意知:直线l1的斜率 又因为直
线l1与直线l2垂直，直线l2的斜率 所以 解
得a=0.
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幻灯片 572.(2012·聊城模拟)直线ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为_______.
【解析】∵点(1,1)在直线ax+my-2a=0上，
∴a+m-2a=0，即m=a,又直线的斜率
∴该直线的倾斜角为
答案：
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幻灯片 583.(2012·佛山模拟)若三点A(1,1),B(-1,0)及C(2,k)在同一直线上，则k值等于________.
【解析】∵A(1,1),B(-1,0),C(2,k),
又∵A、B、C三点在一条直线上，∴
答案：
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幻灯片 594.(2011·浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=________.
【解析】由题意可得1×2-2m=0,解得m=1.
答案：1
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