幻灯片 1第一节 直线的斜率与直线方程
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幻灯片 2 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！
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幻灯片 3三年3考 高考指数:★★
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
2.掌握确定直线位置的几何要素；
3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.
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幻灯片 41.直线的斜率、直线方程是高考的重点；
2.本部分内容常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想；
3.多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目.
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幻灯片 51.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴_______；
一个基准：取______作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向.
②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为_____.
相交
x轴
0°
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幻灯片 6(2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=_______;
②计算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x
轴，则k=______________.
tanθ
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幻灯片 7【即时应用】
(1)过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为
___________；
(2)直线 的倾斜角为____________.
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幻灯片 8【解析】(1)由斜率公式得： ，解得m=1.
(2)∵ 的斜率
即倾斜角α的正切值tanα=
又∵0≤α＜π，∴α= .
答案：(1)1 (2)
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幻灯片 92.直线方程的几种形式
斜率k与点
（x1,y1）
斜率k与直线在y轴上的截距b
两点（x1,y1） ，（x2,y2）
直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b
不含直线x=x1
不含垂直于x轴的直线
不含直线x=x1（x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
平面直角坐标系内的直线都适用
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幻灯片 10【即时应用】
(1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2-
x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？
提示：能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
当x1≠x2且y1≠y2时，直线方程为： 可化为上式；
当x1≠x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式；
当y1≠y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式；
综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成(x2-x1)
(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
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幻灯片 11(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ，则直线l的方程为
___________.
【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：
y-5= (x+2)，即3x+4y-14=0.
答案：3x+4y-14=0
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幻灯片 12(3)经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为___________.
【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为
即3x+2y+1=0.
答案：3x+2y+1=0
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幻灯片 13 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！
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幻灯片 14 直线的倾斜角与斜率
【方法点睛】
1.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一
般根据k=tanα求斜率；
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根据
斜率公式 求斜率.
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幻灯片 152.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
0
k＞0
不存在
k ＜ 0
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幻灯片 16【提醒】对于直线的倾斜角α，斜率k=tanα(α≠90°)，若已知其一的范围可求另一个的范围.
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幻灯片 17【例1】(1)已知两点A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，则直线AB的倾斜
角是_________.
(2)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有
交点，则直线l的斜率k的取值范围为_________.
(3)(2012·西安模拟)直线y=tanθ·x+1(θ∈［ ］)的倾
斜角的取值范围是_________.
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幻灯片 18【解题指南】(1)先由公式法求出斜率，再求倾斜角；
(2)直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也
可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧(或一点在l
上)求解;(3)直线倾斜角与直线的斜率有关，可先求直线斜率
的取值范围，再求直线倾斜角的取值范围.
【规范解答】(1)因为A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，所以直线AB的
斜率 所以直线的倾斜角为 ；
答案：
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幻灯片 19(2)方法一：因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)，
所以 如图所示：
因此，直线l斜率k的取值范围为k≤-4或
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幻灯片 20方法二：依题设知，直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-
k=0,
若直线l与线段AB有交点，则A、B两点在直线l的异侧(或A、B之
一在l上)
故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0，
即(k+4)(4k-3)≥0,
解得：k≤-4或k≥
答案：k≤-4或k≥
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幻灯片 21(3)直线的斜率k=tanθ,设直线的倾斜角为α，
∵θ∈［ ］,
∴k∈［ ］.
∵α∈［0,π),∴α∈［ ］.
答案：［ ］
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幻灯片 22【互动探究】本例(3)中θ的取值范围改为“θ∈［ ］”，
结果如何？
【解析】由直线的倾斜角和斜率的关系知，θ就是直线的倾斜角，∴直线的倾斜角的取值范围为［ ］.
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幻灯片 23【反思·感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解
题线索，如本例第(3)题由直线斜率的取值范围可求出直线倾斜
角的取值范围，但一定要注意倾斜角的取值范围为［0，π)；
2.已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求
k=tanα的值域问题；已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范
围，实质上是在［0， )∪( ，π)上解关于正切函数的三角
不等式问题.由于函数k=tanα在［0， )∪( ，π)上不单
调，故一般借助函数图像来解决此类问题.
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幻灯片 24【变式备选】已知两点A(-1,2)，B(m,3)，且
求直线AB的倾斜角α的取值范围.
【解析】①当直线AB的斜率不存在时，m=-1，此时倾斜角α为
②当直线AB的斜率存在时，m≠-1，由题意知直线AB的斜率
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幻灯片 25又∵
∴
∴
∴直线AB的倾斜角α的取值范围为
综上所述，直线AB的倾斜角α的取值范围为
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幻灯片 26 直线的方程及应用
【方法点睛】直线方程综合问题的类型及解法
(1) 与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x、y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.
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幻灯片 27【例2】已知直线l过点P(3,2),且与
x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两
点,如图所示,
(1)若△ABO的面积为12，求直线l的方程；
(2)求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
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幻灯片 28【解题指南】先设出AB所在的直线方程，再求A、B两点的坐
标，(1)根据△ABO的面积为12列方程组求解；(2)写出表示
△ABO的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值.
【规范解答】(1)方法一：设直线l的方程为 (a>0,b>0),
∴A(a,0),B(0,b),
∴ 解得
∴所求直线l的方程为 即2x+3y-12=0.
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幻灯片 29方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3),
令y=0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a=3- ,
令x=0,得直线l在y轴的正半轴上的截距b=2-3k,
∴(3- )(2-3k)=24,解得k=- .
∴所求直线l的方程为y-2=- (x-3),
即2x+3y-12=0.
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幻灯片 30(2)方法一：由题可设A(a,0),B(0,b)(a＞0,b＞0),则直线l的
方程为
∵l过点P(3,2),
∴
且a>3,b>2.
从而
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幻灯片 31故有S△ABO=
当且仅当
即a=6时,(S△ABO)min=12,
此时
∴此时直线l的方程为
即2x+3y-12=0.
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幻灯片 32方法二：由题可设直线方程为 (a＞0,b＞0),
代入P(3,2),得
得ab≥24,从而S△ABO= ab≥12,
当且仅当 时,等号成立,S△ABO取最小值12，
此时
∴此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 33方法三：依题意知,直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0),
则有A(3- ,0),B(0,2-3k),
∴S△ABO= (2-3k)(3- )
= [12+(-9k)+ ]
≥
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幻灯片 34= ×(12+12)=12,
当且仅当 即 时,等号成立，S△ABO取最小值12.
此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 35方法四：如图所示,过P分别作x轴,y轴
的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.
设θ=∠PAM=∠BPN,
显然θ∈(0, )，
则S△ABO=S△PBN+S四边形NPMO+S△PMA
= ×3×3×tanθ+6+ ×2×2×
=
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幻灯片 36当且仅当
即tanθ= 时,S△ABO取最小值12,
此时直线l的斜率为- ,
其方程为2x+3y-12=0.
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幻灯片 37【反思·感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线方程的各种形式，以便简化运算.
2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决.
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幻灯片 38【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
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幻灯片 39【解析】(1)直线l的方程是：
k(x+2)+(1-y)=0,
令 解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为 在y轴上
的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解之得k>0;
当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k≥0.
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幻灯片 40(3)由l的方程，得 B(0,1+2k).
依题意得 解得k>0.
∵S= ·|OA|·|OB|= ·| |·|1+2k|
≥ ×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k= ,即k=
∴Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.
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幻灯片 41 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。
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幻灯片 42【创新探究】与直线方程有关的创新命题
【典例】(2011·安徽高考)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
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幻灯片 43③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
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幻灯片 44【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成
立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取
得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.
【规范解答】①正确.例如 当x是整数时,y是无理
数,(x,y)不是整点；②不正确,如 过整点(1,0)；
③设y=kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点
(x1,y1),(x2,y2)，则有y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-
y2=k(x1-x2)，则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上，通过这种
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幻灯片 45方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y=kx知
对于y=kx+b也成立，所以③正确；④不正确,如 当x为
整数时,y不是整数,此直线不经过无穷多个整点；⑤正确,如直
线 只经过整点(0,0).
答案：①③⑤
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2012·黄山模拟)直线x-y+3=0的倾斜角是( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选C.直线方程变形为y=x+3，
∴斜率k=1,∴直线的倾斜角是
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幻灯片 492.(2012·九江模拟)三点(1，1)，(-1，0)及(2,k)在同一条直线上，则k的值等于_________.
【解析】方法一：由斜率相等得，
方法二：过点(1，1)及(-1，0)的直线方程为 即
由题意得
答案：
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幻灯片 503.(2012·汉中模拟)直线ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为_______.
【解析】∵点(1,1)在直线ax+my-2a=0上，
∴a+m-2a=0，即m=a,
又直线的斜率 ∴该直线的倾斜角为 .
答案：
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幻灯片 514.(2012·铜陵模拟)一条光线经点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从B反射到直线l：x-y+3=0上的一点C，后又从C点反射回A点，求直线BC的方程_________.
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幻灯片 52【解析】由入射光线和反射光线的性质知，点A(1，2)关于x轴及直线l∶x-y+3=0的对称点都在直线BC上.
∵点A(1，2)关于x轴的对称点为A′(1，-2)，
关于直线l∶x-y+3=0的对称点为A″(-1,4).
∴直线BC的方程为
即3x+y-1=0.
答案：3x+y-1=0
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幻灯片 53----
幻灯片 54----
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