幻灯片 1第二章 数 列
§2.3 等差数列的前n项和
----
幻灯片 2有一次，老师和高斯经过
建筑工地，建筑工地上放
着一堆圆木，从上到下每
层的数目分别为1，2，3，
……，100 . 老师问：
高斯，你知道共有多少
根圆木吗？
问题就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100=？
创设情景
----
幻灯片 3高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
备注：
大家都知道这个算法，这从另一个角度表明这种方法的巧妙与高明！
----
幻灯片 4n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
启 发
倒序相加法
----
幻灯片 5探 究
高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗？
----
幻灯片 6
合 作 探 究
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
思考：还有别的推导方法吗？
备注：
重点、难点突破。两法化简右式
----
幻灯片 7已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
＋
＋
＋… ＋
①
②
另 解
①+ ②得
倒序相加法
备注：
我们还可以结合等差数列的通项公式来求。我们知道SN=，仍将这个式子右边的部分顺序颠倒，得另一个式子。首先看上面的式子，由通项公式》》
----
幻灯片 8公 式 变 形
----
幻灯片 9等差数列的前n项和的公式：
含a1 和d
求 和 公 式
含a1 和an
公式记忆
备注：
用文字语言表述公式一。引出另一个公式，另一种证明方法？可知sn是n的二次函数（放在教例3及探究讲）。知三求一，解释知三求二，让学生推导。
----
幻灯片 10公 式 记 忆
对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
an
a1
a1
(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
----
幻灯片 11公 式 应用
----
幻灯片 12例 题 讲 解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
分析：①找关键句；
②求什么，如何求？
----
幻灯片 13解：依题意得，该市在“校校通”工程的经费每年比上一年增加50万元，所以每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
那么，到2010年（n=10),投入的资金总额为
答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
----
幻灯片 14例 题 点 评
解决实际问题的步骤：
（1）仔细阅读题目，审清题意；
（2）提取相关数学信息，建立数学模型（本题为等差数列模型）；
（3）解决此数学模型所体现的数学问题（本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解）；
（4）还原问题（回到实际问题中作答）。
易错方面：
（1）审题不清（如：把前n项和与最后一项混淆）
（2）项数……
（3）忘记答或写单位
----
幻灯片 15例 题 讲 解
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
分析：方程思想和前n项和公式相结合
解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
得到
还有其它方法吗？
----
幻灯片 16一 题 多 解
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
----
幻灯片 17一 题 变 式
例2变式、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗？
【另解】由等差数列的性质，可推得：
成等差数列
解得：前30项的和为2730 .
整体思想
点评：
上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出，要注意体会这种思想在数学中的运用.
----
幻灯片 18变 式 提 高
----
幻灯片 19知 识 小 结
1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——
3.公式的应用 ；
（两个）
倒序相加法
(知三求一)
----
幻灯片 20例 题 讲 解
当n >1时： ①
当n=1时：
也满足①式.
----
幻灯片 21变 式 训 练
当n >1时：
①
当n=1时：
不满足①式.
点评：
分类讨论思想
----
幻灯片 22 ● 如果一个数列 的前n项和为
其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.
结论：数列是等差数列等价于
常数项为0的关于n的二次型函数
----
幻灯片 23例 题 讲 解
【解析】由题意知，等差数列的公差为
于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值.
函数思想
还有其它方法吗？
----
幻灯片 24例 题 讲 解
从等差数列的通项公式出发来分析
----
幻灯片 251.等差数列的前n项和公式
3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
----
幻灯片 26----
【点此下载】