幻灯片 1第二章 数 列
§2.3 等差数列的前n项和
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幻灯片 2如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？
想一想:
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幻灯片 31+100
2+99
. . .
50+51
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幻灯片 4
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幻灯片 5试一试
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幻灯片 6一、数列前n项和的意义
数列｛an｝：a1，a2 ,a3 ，…，an ,…
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做
数列｛an｝的前n项和，记作Sn
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幻灯片 7二、等差数列的前n项和公式推导
议一议
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幻灯片 8
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幻灯片 9联想：
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幻灯片 10----
幻灯片 11我国数列求和的概念起源很早，
到南北朝时，张丘建始创等差
数列求和解法。他在《张丘建
算经》中给出等差数列求和问题：
例如：今有女子不善织布，每天所
织的布以同数递减，初日织五尺，
末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之
再乘以织日数，即得”
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幻灯片 12例1.2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于”校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是多少?
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幻灯片 13
答: 从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是7250万元
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幻灯片 14例2.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项
的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项
和的公式吗？
解：依题意知，S10=310，S20=1220
解得 a1=4，d=6
将它们代入公式
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幻灯片 15例3. 已知数列{an}的前n项和为 ，求该
数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项和公差分别是什么？
解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)
当n=1时，
①
∴ a1也满足①式
∴当n>1时，
所以数列{an}的通项公式为:
由此可知，数列{an}是一个首项为1.5，公差为2的
等差数列
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幻灯片 16 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
注意：(1)这种做法适用于所有数列；
(2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
若是，则an = Sn- Sn-1
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幻灯片 17探究：
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？
分析：∵当n>1时，
当n=1时，a1=S1=p+q+r
又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q
∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q
故只有当r=0时该数列才是等差数列，
此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
an=Sn-Sn-1
=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r
=2pn-p+q
数列{an}为等差数列
判断以下命题是否为真命题，若为假命题请修缮一下
条件，使之成为真命题.
若数列{an}的前n项和为关于n的二次函数，则该数列为等差数列.
2.若数列{an}为等差数列，则该数列的前n项和为关于n
的二次函数.
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幻灯片 181.等差数列的前n项和公式：
总结
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幻灯片 19例4.已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.
解：由题意知，a1=5，公差d=
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幻灯片 20解2：∵由题意知，a1=5，公差d =
解得7≤n≤8
∴当n取7或8时，Sn最大
例4.已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.
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幻灯片 21求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值，
此时n应取最接近 的正整数值；
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，
此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，
此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.
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幻灯片 22----
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