幻灯片 1第三章 不等式
§3.4 基本不等式
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幻灯片 2 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
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幻灯片 3思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
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幻灯片 4a
b
1、正方形ABCD的
面积S=＿＿＿＿＿
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
探究１：
S____S′
问：那么它们有相等的情况吗？
>
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幻灯片 5
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幻灯片 6重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
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幻灯片 7思考：你能给出不等式 的证明吗？
证明：（作差法）
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幻灯片 8结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
适用范围：
a,b∈R
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幻灯片 9替换后得到：
即：
即：
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
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幻灯片 10证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
分析法
证明不等式：
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幻灯片 11特别地，若a>0，b>0，则
≥
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
基本不等式
在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
适用范围：
a>0,b>0
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幻灯片 12你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
Rt△ACD∽Rt△DCB，
A
B
C
D
E
a
b
O
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
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幻灯片 13你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
＞
≥
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
几何意义：半径不小于弦长的一半
A
D
B
E
O
C
a
b
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幻灯片 14a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识基本不等式
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幻灯片 15 例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：如图设BC=x ，CD=y ，
则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.
当且仅当 时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
此时x=y=10.
x=y
A
B
D
C
若x、y皆为正数，
则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值_______.
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幻灯片 16例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
则 2(x + y)= 36 , x + y =18
矩形菜园的面积为xy m2
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2
即x=y=9
A
B
D
C
若x、y皆为正数，
则当x+y的值是常数S时，
当且仅当x=y时，
xy有最大值_______；
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幻灯片 17①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
利用基本不等式求最值时，要注意
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幻灯片 18基本不等式在实际问题中的应用
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。
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幻灯片 19----
幻灯片 20所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。
反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。
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