幻灯片 1函数的单调性与最值
1．函数的单调性定义
f(x1)f(x2)
单调减区间
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幻灯片 22．用导数的语言来讲函数的单调性
设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上
间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上
，那么 f(x)为区
，那么 f(x)为区间 I
上的减函数．
f′(x)>0
f′(x)<0
3．函数的最大(小)值
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对
于任意 x∈A,有
恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
恒
值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有
成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值．
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
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幻灯片 3(x∈R)的值域是(
1．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为
(
)
D
A．[－4,1]
C．[－4,1]∪[0,5]
B．[0,5]
D．[－2,3]
2．函数 f(x)＝
1
1＋x
2
)
B
A．(0,1)
B．(0,1]
C．[0,1)
D．[0,1]
)
D
3．函数 y＝x2－6x 的减区间是(
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
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幻灯片 44．二次函数 f(x)＝x2＋2ax＋b 在区间(－∞，4)上是减函数，
你能确定的是(
)
C
A．a≤4
B．a≥－2
C．a≤－4
D．b≤－2
5．已知 f(x)＝
3x
x－3
，x∈[4,6]．则 f(x)的最大值与最小值分
别为
.
12,6
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幻灯片 5考点 1
判断函数的单调性
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范
围．
解析：(1)当 a＝0 时，f(x)＝x2 为偶函数；
当 a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)方法一：设 x2>x1≥2，
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幻灯片 6[x1x2(x1＋x2)－a]，
＝
x1－x2
x1x2
由 x2>x1≥2 得 x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.
要使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需 f(x1)－f(x2)<0，
即 x1x2(x1＋x2)－a>0 恒成立，则 a≤16.
要使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
则 a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，
故当 a≤16 时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
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幻灯片 7【互动探究】
1．已知 f(x)＝
x
x－a
(x≠a)．
(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若 a＞0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
则 f(x1)－f(x2)＝
2(x1－x2)
(x1＋2)(x2＋2)
.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(1)证明：任设 x1＜x2＜－2，
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幻灯片 8(3)y＝ 2
(5)y＝x＋ .
(2)解：任设 1＜x1＜x2，则
考点 2 函数的最值与值域
例 2：求下列函数的值域：
(1)y＝
3x＋2
x－2
；
(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
x2－x
x －x＋1
；
(4)y＝x＋ 2x－1；
4
x
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幻灯片 9x －x＋1
≠0，∴y≠3.
解题思路：关于 x 的一次分式函数，这种题目可通过求关
于 x 的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变
形(分离常量)，观察得出结果； 有理分式函数，去分母化成关
于 x 的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成 A
＋
B
2
(A、B 是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函
数化为有理函数或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别
式求函数的值域．
解析：(1)方法一：y＝
3x＋2
x－2
＝
(3x－6)＋8
＝3＋
x－2
8
x－2
，
由于
8
x－2
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幻灯片 10(3)方法一：y＝ 2
＝1－ 2
x －x＋1
∴函数 y＝
3x＋2
x－2
的值域是{y|y∈R 且 y≠3}．
3x＋2
方法二：由 y＝ ，得 x＝
x－2
2(y＋1)
y－3
，∴y≠3.
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
∴其图像是开口向下，顶点为(－1,4)，在 x∈[－5，－2]上
对应的抛物线上的一段弧．
∴当 x＝－5 时，ymin＝－12；当 x＝－2 时，ymax＝3.
∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
x2－x
x －x＋1
1
.
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幻灯片 11----
幻灯片 12----
幻灯片 13----
幻灯片 14ax＋b
故 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；
x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4.
∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(4)反函数法： 适用于形如 y＝
cx＋d
类的函数．
常用的求值域的方法有：
(1)代入法：适用于定义域为有限集的函数．
(2)分离系数法：若函数 y＝f(x)解析式中含有|x|，x2， ，sinx，
cosx 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有界性解
出 y 的范围．
(3)配方法：适用于二次函数类的函数．
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幻灯片 15mx ＋nx＋p
(3)y＝ 2
(5)判别式法： 适用于形如 y＝
ax2＋bx＋c
2
类的函数．
(6)换元法：主要处理一些根式类的函数．
(7)不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值．
(8)最值法：通过求导求出最值．
【互动探究】
2．求下列函数的值域：
(1)y＝
3x＋2
5－4x
； (2)y＝－x2＋x＋2；
3x2－1
x ＋2
.
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幻灯片 16----
幻灯片 17考点 3
借助于导数判断函数的单调性
解题思路：可用分离参数的方法，再结合不等式恒成立知
识求解；也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所
求区间的子区间知识求解．
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幻灯片 18解析：函数 f(x)的导数 f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1 即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
不合题意．
当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，－1)上为增函
数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有：当 x∈(1,4)时，f′(x)＜0；
当 x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以 4≤a－1≤6，解得 5≤a≤7，
所以 a 的取值范围是[5,7]．
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幻灯片 19 在研究函数的单调性时，当函数解析式中既含有
指数函数、对数函数、又含有二次或三次函数，定义法判断单
调性较为困难，用导数来研究较为方便．本题关键之处在于就
变量系数值进行分类讨论．
【互动探究】
3．设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x
＜0 时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)
＜0 的解集是(
)
D
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
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幻灯片 20解析：当 x<0 时，[f(x)g(x)]′>0，所以函数 f(x)g(x)在(－∞，
0)上为增函数．又 f(x)g(x)为奇函数，
∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
且 f(－3)g(－3)＝0，f(3)g(3)＝0，
故 f(x)g(x)＜0 的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
错源：没有考虑定义域
误解分析：(1)忽略 x 需满足 4x－x2>0 这个条件；(2)对复合
函数单调性的判断出错．
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幻灯片 21----
幻灯片 22 【互动探究】
4．(2011 届兰州一中考试)函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；
③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x 的图像(部)如图 2－4－1，但顺序被打乱，
)
C
照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(
图 2－4－1
则按
A．④①②③ B．①④③②
C．①④②③ D．③④②①
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幻灯片 23
f(mx) ＋ mf(x)<0 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
__________________．
解析：已知 f(x)为增函数且 m≠0，若 m＞0，由复合函数的
单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数，此时不符合题意．当 m
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幻灯片 24 本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题
通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于难题．
求函数值域的常用方法：有配方法、分离变量法、单调性
法、图像法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的
值域，都必须考虑函数的定义域．
1 ． (2010 年 佛 山 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
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幻灯片 25.
.
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幻灯片 26----
幻灯片 27
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幻灯片 28----
幻灯片 29 本题中奇偶性与单调性的判别，都是直接利用定
义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并
能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果．
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