幻灯片 11.3 算法案例
1．3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
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幻灯片 21．理解三种算法的原理及应用．(重难点)
2．了解三种算法的框图表示及程序．(难点)
3．会用秦九韶算法求多项式的值．(易错点)
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幻灯片 31．辗转相除法内容一览表
除以
除尽
小数
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幻灯片 4
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幻灯片 51．辗转相除法的理论依据是什么？
提示：由a＝nb＋r得r＝a－nb，即a，b与b，r有相同的最大公约数．
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幻灯片 62．更相减损术内容一览表
相等
相等数
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幻灯片 7----
幻灯片 82．更相减损术的理论依据是什么？
提示：由a－b＝r得a＝b＋r，即a，b与b，r有相同的最大公约数．
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幻灯片 93．秦九韶算法内容一览表
内向外
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幻灯片 10
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幻灯片 113．秦九韶算法的优点是什么？
提示：(1)大大减少了乘法的次数，使计算量减小；
(2)规律性强，便于利用循环语句来实现算法；
(3)避免了对自变量x单独做幂的计算，每次都是计算一个一次多项式的值，从而可以提高计算的精度．
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幻灯片 12辗转相除法的实质就是：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数．
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幻灯片 13 试用辗转相除法求325、130、270三个数的最大公约数．
【思路点拨】应用辗转相除法的执行过程去解，即依据m＝nq＋r反复执行，直到r＝0为止．
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幻灯片 14解：∵325＝130×2＋65，
130＝65×2，
∴325与130的最大公约数是65.
∵270＝65×4＋10，
65＝10×6＋5,10＝5×2，
∴65与270的最大公约数是5，
故325、130、270三个数的最大公约数为5.
【题后总结】(1)理解辗转相除法的实质，掌握辗转相除法的步骤是解题关键；
(2)辗转相除的运算要仔细认真，不要出现运算错误．
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幻灯片 151．用辗转相除法求5 280与12 155的最大公约数．
解：根据辗转相除法，用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：12 155＝5 280×2＋1 595，
由此可得，5 280与1 595的最大公约数也是12 155与5 280的最大公约数．
对5 280与1 595重复上述步骤：
5 280＝1 595×3＋495.
同理，1 595与495的最大公约数也是5 280与1 595的最大公约数；
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幻灯片 16
再次重复上述步骤：1 595＝495×3＋110；
……
110＝55×2.
最后的除数55是110与55的最大公约数，也就是12 155与5 280的最大公约数．
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幻灯片 17更相减损术的求解步骤：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数．
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幻灯片 18 求三个数168,56,264的最大公约数．
【思路点拨】应用更相减损术或辗转相除法，先求前两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．
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幻灯片 19解：方法一：(更相减损术)
先求168与56的最大公约数：
168－56＝112,112－56＝56，
因此168与56的最大公约数是56.
再求56与264的最大公约数；
264－56＝208,208－56＝152，
152－56＝96,96－56＝40，
56－40＝16,40－16＝24，
24－16＝8,16－8＝8，
故8是56与264的最大公约数，也就是这三个数的最大公约数．
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幻灯片 20方法二：(辗转相除法)
因为168＝56×3，
故168与56的最大公约数是56，
再求56与264的最大公约数，
由264＝56×4＋40,56＝40×1＋16，
40＝16×2＋8,16＝8×2，
得56与264的最大公约数是8.
因此168,56,264的最大公约数是8.
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幻灯片 21【题后总结】辗转相除法与更相减损术的区别与联系
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幻灯片 222．用更相减损术求576与246的最大公约数．
解：∵用2约简576与246得288与123.
288－123＝165,165－123＝42，
123－42＝81,81－42＝39，
42－39＝3,39－3＝36,36－3＝33，
33－3＝30,30－3＝27,27－3＝24，
24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15，
15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3，
∴576与246的最大公约数为3×2＝6.
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幻灯片 23秦九韶算法的步骤：
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幻灯片 24 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
【思路点拨】利用秦九韶算法的步骤，由内向外逐次计算．
【规范解答】将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时值：
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幻灯片 25v0＝1；
v1＝1×2－12＝－10；
v2＝－10×2＋60＝40；
v3＝40×2－160＝－80；
v4＝－80×2＋240＝80；
v5＝80×2－192＝－32；
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
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幻灯片 263．求多项式f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6当x＝2时的值．
解：f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6而x＝2，
所以有：v0＝1，
v1＝v0x＋a4＝1×2＋2＝4，
v2＝v1x＋a3＝4×2＋3＝11，
v3＝v2x＋a2＝11×2＋4＝26，
v4＝v3x＋a1＝26×2＋5＝57，
v5＝v4x＋a0＝57×2＋6＝120，
即当x＝2时，f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6的值为120.
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幻灯片 27误区：用秦九韶算法求多项式的值时忽略空项
【典例】已知：f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，用秦九韶算法求f(3)的值．
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幻灯片 28
【错误解答】∵f(x)＝(((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
∴当x＝3时，
v0＝1，v1＝3＋1＝4，
v2＝4×3＋1＝13，
v3＝13×3＋1＝40，
v4＝40×3＋1＝120＋1＝121，
所以当x＝3时，f(3)＝121.
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幻灯片 29
【正确解答】原多项式可化为：
f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
当x＝3时，
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，
v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，
v5＝94×3＋1＝283，
所以当x＝3时f(3)＝283.
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幻灯片 30
【纠错心得】当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项．忽视了这一点，导致结果出现错误．
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幻灯片 31----
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