幻灯片 12.3 幂函数
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幻灯片 2【课标要求】
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， ，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．
【核心扫描】
1．幂函数的概念和性质．(重点)
2．五种幂函数的图象的特点．(难点)
3．幂函数与指数函数的区别．(易混点)
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幻灯片 3新知导学
1．幂函数的概念
函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
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幻灯片 42．幂函数的图象与性质
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幻灯片 5----
幻灯片 6互动探究
探究点1 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？
提示 幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数指数是自变量．
探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？
提示 不对，幂函数y＝x2的图象过第二象限，所有的幂函数的图象都不过第四象限，因为对y＝xα而言，
当x>0时，必有y>0.
探究点3 y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？
提示 不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数．
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幻灯片 7类型一 幂函数概念的理解及应用
【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[思路探索] 首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．
解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
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幻灯片 8[规律方法] (1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
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幻灯片 9【活学活用1】 若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标轴没有交点，试求实数m的值．
解 由f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1是幂函数，
则m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.
(1)当m＝3时，f(x)＝x11过原点(0,0)，与坐标轴相交，不合题意；
(2)当m＝－1时，f(x)＝x－1的图象与坐标轴无公共点．因此，实数m的值为－1.
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幻灯片 10[思路探索] 先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察函数值的变化情况，得出结论．
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幻灯片 12[规律方法] 1.幂函数y＝xα的图象恒过定点(1,1)，且不过第四象限．
2．解决幂函数图象，需把握两个原则：(1)幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
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幻灯片 17[规律方法] 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
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幻灯片 19.
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幻灯片 20易错辨析 幂函数的性质理解不透致误
【示例】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足
的a的取值范围．
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幻灯片 21----
幻灯片 22----
幻灯片 23----
幻灯片 24课堂达标
1．下列函数是幂函数的是
( )．
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
答案 B
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幻灯片 274．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．
解析 由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，合题意；
当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不合题意．
答案 2
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幻灯片 285．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，求整数m的值．
解 由题意，得m2－4m<0，
∴00，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
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