幻灯片 1----
幻灯片 23．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
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幻灯片 3【课标要求】
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数；体会数形结合思想与函数与方程思想的应用．
2．理解函数零点的概念，掌握函数零点的存在性定理．
【核心扫描】
1．求函数的零点．(重点)
2．零点存在性及零点个数的判定．(难点)
3．函数的零点与方程根的关系．(易混点)
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幻灯片 4新知导学
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x) ．
f(x)＝0
有零点
x轴
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幻灯片 53．函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 .
温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．
f(a)·f(b)＜0
连续不断
f(c)＝0
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幻灯片 6互动探究
探究点1 函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？
提示 函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．
探究点2 若连续不断的曲线y＝f(x)，在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但能确定零点的个数吗？
提示 不能，仅能确定一定有零点，但究竟有多少个零点无法确定．
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幻灯片 7探究点3 如果函数y＝f(x)在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点吗？
提示 不一定，如y＝f(x)＝x2在[－1,1]上，虽有f(－1)·f(1)＝1＞0，但其有零点x＝0.
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幻灯片 8类型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．
[思路探索] 求函数的零点，就是求相应方程的根．
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幻灯片 9解 (1)令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)∵f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
∴x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0无解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
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幻灯片 10[规律方法] 1.本题通过求方程f(x)＝0的根得出函数的零点，准确进行因式分解与变形是求方程根的关键．
2．求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
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幻灯片 11----
幻灯片 12类型二 判断函数零点的个数
【例2】 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
[思路探索] 可以运用数形结合法或零点存在的判定方法解决．
解 法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2
的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象
(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．
从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
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幻灯片 13法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
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幻灯片 14[规律方法] 判断函数零点个数的方法主要有：
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；
(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；
(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．
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幻灯片 15----
幻灯片 16----
幻灯片 17类型三 函数零点的应用
【例3】 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，试求实数a的取值范围．
[思路探索] 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式．
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幻灯片 18解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一零点大于2，一零点小于2.
∴f(x)的图象大致如图所示：
当a＞0时，应有f(2)＝4a－4(a＋1)＋a－1＜0，
∴0＜a＜5.
当a＜0时，应有f(2)＝4a－4(a＋1)＋a－1＞0，无解．
综上可知，a的取值范围是(0,5)．
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幻灯片 19[规律方法] (1)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
(2)二次函数的零点分布抓住：对称轴、判别式Δ，图象开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解．
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幻灯片 20----
幻灯片 21易错辨析 忽视零点存在性定理的使用条件致误
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幻灯片 22[正解] 函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．
当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．
综上，函数f(x)没有零点．
答案 A
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幻灯片 23[防范措施] (1)零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．
(2)零点存在定理只能用来判定函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．
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幻灯片 24课堂达标
1．函数y＝4x－2的零点是
( )．
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幻灯片 25----
幻灯片 263．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则函数零点的个数是________．
解析 ∵a·c＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点．
答案 2
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幻灯片 274．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是________(填序号)．
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
解析 ∵f(x)＝ex＋x－2.
∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0.
∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．
答案 ③
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幻灯片 285．若函数f(x)＝|x2－2x|－a没有零点，求实数a的取值范围．
解 令g(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|.
由于(x－1)2≥0，知(x－1)2－1≥－1，从而g(x)≥0.
令f(x)＝0，则a＝|x2－2x|.
当直线y＝a与g(x)的图象没有交点时，函数f(x)无零点，∴a＜0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．
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幻灯片 29课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
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