幻灯片 13．1.2 用二分法求方程的近似解
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幻灯片 2【课标要求】
1．能用二分法求出方程的近似解．
2．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
【核心扫描】
1．利用二分法求方程的近似解．(重点)
2．判断函数零点所在的区间及方程根的个数．(难点)
3．精确度ε与近似值．(易混点)
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幻灯片 3新知导学
1．二分法定义的理解及应用
对于在区间[a，b]上 且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
温馨提示：二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
连续不断
f(a)·f(b)＜0
逐步逼近零点
一分为二
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幻灯片 42．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)
①若f(c)＝0，则 ；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)＜0
c就是零点
|a－b|＜ε
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幻灯片 5互动探究
探究点1 已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间？
提示 可采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间．
探究点2 能用二分法求图象连续的任何函数的近似零点吗？
提示 不能．看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．
探究点3 用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？
提示 看清题目的精确度，当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，则二分法步骤结束.
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幻灯片 6类型一 二分法概念的理解及应用
【例1】 用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是
( )．
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
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幻灯片 7[思路探索] 逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符号，看是否存在区间[a，b]满足f(a)·f(b)＜0.
解析 由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)＜0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．
答案 C
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幻灯片 8[规律方法] (1)判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
(2)二分法是通过不断地将选择的区间一分为二，逐步逼近零点，直到满足精确度的要求．
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幻灯片 9【活学活用1】 如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是 ( )．
解析 按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．
答案 A
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幻灯片 10类型二 用二分法求函数零点的近似值
【例2】 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
[思路探索] 本题已给出函数表达式和规定的区间，可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值．
解 经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0.因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
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幻灯片 11如此继续下去，如下表：
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
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幻灯片 12[规律方法] (1)用二分法求函数零点的近似值的两个关键点．①初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间)．②进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度)．
(2)准确计算区间中点的函数值，进而判断零点所在的区间是利用二分法求函数零点近似值的关键．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似值．
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幻灯片 13【活学活用2】 求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解 设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25＞0，∴2＜x0＜2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0，
∴2.25＜x0＜2.5；如此继续下去，有
f(2.375)＜0，f(2.5)＞0⇒x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
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幻灯片 14类型三 二分法的实际应用
【例3】 从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点，就要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m之间，要查多少次？
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幻灯片 15解 (1)如图所示，他首先从中点C检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD段中点E查……
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幻灯片 16----
幻灯片 17【活学活用3】 某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1 000元，选手开始报价1 000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了，850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
解 取价格区间[500,1 000]的中点750，低了；就再取[750,1 000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格．
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幻灯片 18易错辨析 因“二分法”精确度的理解不清致错
【示例】 用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
[错解] 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29＞0，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
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幻灯片 19再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，
f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
[错因分析] 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.
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幻灯片 20[正解] 由于f(2)＝－1＜0，f(3)＝4＞0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
根据上表计算知，区间[2.1875,2.25]的长度是0.0625＜0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.1875.
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幻灯片 21[防范措施] 求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|＜ε为止．
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幻灯片 22课堂达标
1．下列函数图象中，能用二分法求零点的是
( )．
解析 依据二分法求零点的原理可知C正确．
答案 C
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幻灯片 232．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是
( )．
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
答案 A
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幻灯片 243．用二分法求方程f(x)＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.425)＜0，f(0.532)＞0，f(0.605)＜0，即得到方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析 因为|0.605－0.532|＝0.073＜0.1，所以0.605或0.532都可作为方程f(x)＝0的一个近似解．
答案 0.532(答案不唯一)
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幻灯片 254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5)．
答案 (2,2.5)
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幻灯片 265．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．
解 由表中f(1.562 5)＝0.003，f(1.556 2)＝－0.029.
∴f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.
又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，
∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)．
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幻灯片 27----
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