幻灯片 13.2.2 函数模型的应用实例
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幻灯片 2【课标要求】
1．了解几种现实生活中普遍使用的函数模型．
2．能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题．
【核心扫描】
1．利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．建立函数模型解决实际问题．(难点)
3．选择恰当的函数模型解决实际问题．(易错点)
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幻灯片 3新知导学
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
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幻灯片 42．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
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幻灯片 5互动探究
探究点1 解决函数实际应用问题的关键是什么？
提示 关键是选择或建立恰当的函数模型．
探究点2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？
提示 因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要改选其他函数模型.
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幻灯片 6[思路探索] 先建立销售额与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题．
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幻灯片 7----
幻灯片 8[规律方法] (1)第一小题关键在于建立y关于x的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式．
(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．
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幻灯片 9----
幻灯片 10----
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幻灯片 12(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？
[思路探索] 由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．
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幻灯片 13----
幻灯片 14[规律方法] (1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．
(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．
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幻灯片 15【活学活用2】 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．
解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，
即3x≤4，且5x＞4时，
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幻灯片 18类型三 数据拟合型函数的应用问题
【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
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幻灯片 19该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
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幻灯片 20[思路探索] 先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题．
解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
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幻灯片 21观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．
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幻灯片 22所以y＝0.3x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，
那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，
所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.
当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，
此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．
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幻灯片 23[规律方法] 解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答．这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题．
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幻灯片 24【活学活用3】 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logb t.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
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幻灯片 27易错辨析 解决图表信息问题没能理解题意致错
【示例】 如图所示，圆弧型声波DFE
从坐标原点O点外传播．若D是DFE与
x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧
型声波DFE在传播过程中扫过平行四边
形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是
( )．
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幻灯片 28----
幻灯片 29[错解] 观察题图可知，声波扫过的面积先增大后减少，选项B符合题意，满足图象要求．
[错因分析] 本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．
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幻灯片 30[正解] 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢．所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.
答案 A
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幻灯片 31[防范措施] (1)注意细节变化，一些细节不能忽视，它往往起提示作用，如图表下的“注”、“数字单位”等．函数图象的凸凹变化规律：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢．
(2)审清要求：图表题往往对答题有明确的要求，根据考题要求进行回答，才能有的放矢．题目要求往往包括字数句数限制、比较对象、变化情况等．
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幻灯片 32课堂达标
1．某公司市场营销人员的个人月收
入与其每月的销售量成一次函数
关系，如图所示，由图中给出的
信息可知，营销人员没有销售量
时的收入是 ( )．
A．310元 B．300元 C．390元 D．280元
解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
答案 B
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幻灯片 354．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析 图象法，即指出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较发现选甲更好．
答案 甲
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幻灯片 38课堂小结
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
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