1.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
[答案] C
[解析] ∵P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
[答案] D
[解析] P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.
3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设甲胜为事件A，则P(A)＝，P()＝，
∵甲以31的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p＝C·()2··＝.
4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
[答案] C
[解析] CC表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P(X＝4)＝.
5．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )
A．0.45 B．0.6
C．0.65 D．0.75
[答案] D
[解析] 设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，
∵P(AB)＝0.6，
P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，
∴P(A|B)＝＝＝0.75.
6．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[0，]
[答案] D
[解析] 设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P()＝P()·P()＝(1－x)·(1－y)＝?1＋xy＝＋x＋y≥＋2.当且仅当x＝y时取“＝”，∴≤或≥(舍)，∴0≤xy≤.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈[0，]．
7．(2011·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替，x、y是0～9的自然数)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据x＝________，y＝________.
[答案] 2,5
[解析] 由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，
得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.
8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)＝________.
[答案]
[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A，B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝.
9．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
[解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为.
(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P＝＝.
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
Cp2(1－p)＝3×()2×()＝.
(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，
P(X＝6)＝＝＝.
所以，随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
10.(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x(年)
02
02
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
[分析] (1)“发生故障”这一事件可表示为“x≤2”；
(2)弄清事件“x1＝m”和“x2＝n”的含义，才能求出概率分布列；
(3)应该生产利润期望大的轿车．
[解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.
则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
[点评] (1)本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．
(2)概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义.
能力拓展提升
11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] P(X＝4)＝＝.
12．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E(X)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] X的取值有：3、4、5，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，
∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
13．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①A1、A2、A3是两两互斥的事件；
②事件B与事件A1相互独立；
③P(B)＝；
④P(B|A2)＝.
[答案] ①④
[解析] ①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A1发生，此时事件A2，A3一定不会发生，即A1、A2、A3两两互斥，故①正确；
②事件A1发生与否，直接影响到事件B的发生，故B与A1相互不独立，故②错误；
③P(B)＝P(B·(A1∪A2∪A3))＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故③错误；
④P(B|A2)＝＝＝，故④正确．
14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．
(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；
(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X的分布列．
[解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C＝28，所以P(A)＝＝.
(2)根据题意可知X可能的取值是0,1,2,3,4.
X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝＝，
X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝＝，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝＝，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝＝，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
15.(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是P(E)＝1－P( )＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P ( )＝××＝，
P(ξ＝40)＝P(A )＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
30
40
50
60
P
E(ξ)＝30×＋40×＋50×＋60×＝.
[点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
1．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为Pk＝Cpk(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴p0＝Cp0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p0＝，
∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝，
∴p1＝Cp·(1－p)3＝4××3＝，故选C.
2．(2011·烟台模拟)随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(
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