1.(2011·重庆理)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
[答案] A
[解析] 在△ABC中，C＝60°，
∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，
∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，
∴ab＝，选A.
2．(文)在△ABC中，已知A＝60°，b＝4 ，为使此三角形只有一解，a满足的条件是( )
A．00，b>0，∴a－b＝>0，所以a>b.
(理)在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
[答案] C
[解析] acsinB＝，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.
6．(文)( 2011·福建六校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝4，B＝45°，面积S＝2，则b等于( )
A．5 B.
C. D．25
[答案] A
[解析] 由于S＝acsinB＝2，c＝4，B＝45°，
可解得a＝1，
根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×＝25，
所以b＝5，故选A.
(理)在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.
7．(2011·福建文)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
[答案] 2
[解析] 由S＝BC·ACsinC知＝×2×ACsin60°＝AC，∴AC＝2，
∴AB2＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB＝2.
8．(文)(2011·河南质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3，则△ABC的面积为________．
[答案] 2
[解析] 依题意得cosA＝2cos2－1＝，∴sinA＝＝，∵·＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝2.
(理)(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．
[答案] 2
[解析] 由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得＝＝2.
9．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则∠A的大小为________．
[答案]
[解析] ∵sinB＋cosB＝sin(B＋)＝，
∴sin(B＋)＝1，
∵00，
∴c2<5.∴2≤c<.
边b最长时(c<2)，cosB＝＝>0，
∴c2>3.∴b，∴此时B＝，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.
(理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．
[解析] (1)∵m∥n，
∴2sinB＝－cos2B，
∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－，
又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，
∴由余弦定理cosB＝得，
a2＋c2－ac－4＝0，
又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，
S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解.
能力拓展提升
11.(文)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
[答案] C
[解析] 因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：
a＝2b×，整理得b2＝c2，∴b＝c，
∴则此三角形一定是等腰三角形．
[点评] 也可以先由正弦定理，将a＝2bcosC化为sinA＝2sinBcosC，利用sinA＝sin(B＋C)代入展开求解．
(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.
12．(文)(2011·深圳二调)已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是＋，－的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] D
[解析] 依题意得AB＝，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理得＝，＝，即sinC＝.又0°6，无解．
④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．
15．(文)(2011·江西文)在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
[解析] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，
即cosA＝.
(2)由cosA＝得sinA＝，
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，从而得
sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝ (0<φ<)，
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
(理)(2011·山东文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．
[解析] (1)由正弦定理＝＝＝2R知，
＝，即cosAsinB－2cosCsinB＝2cosBsinC－cosBsinA，
即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
又由A＋B＋C＝π知，sinC＝2sinA，所以＝2.
(2)由(1)知＝2，∴c＝2a，
则由余弦定理得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2acosB＝4a2
∴b＝2a，
∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.
16．(文)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
[解析] (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由于sin(A＋B)＝sinC.
∴m·n＝sinC.
又∵m·n＝sin2C，
∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.
又sinC≠0，所以cosC＝.而0a＝1，∴l＝a＋b＋c∈(2,3]，
即△ABC的周长l的取值范围为(2,3]．
1．在△ABC中，tanA＝，cosB＝，若最长边为1，则最短边的长为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，
∵tanA＝<1，∴0，
∴0
【点此下载】