第二章 第九节 函数与方程
一、选择题
1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知x0是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )[来源: ]
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)<0，f(x2)>0
3．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
5．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法确定
6．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
二、填空题
7．已知函数f(x)＝
若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
8．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间________．
①(，1)，②(，)；③(，)；④(0，)．
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由．
11．二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
[来源: ]
12．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
详解答案
一、选择题
1．解析：当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，
有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0，
解得a>3或a<－.
答案：A
2．解析：∵f(x0)＝0，f(x)＝＋lnx在定义域内为增函数，
∴f(x1)0，即m2－4>0，解得m>2或m<－2.
答案：C
4．解析：在同一个坐标系中作出y＝与y＝cos x的图象如图，由图象可得函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)上只有一个零点．
答案：B
5．解析：由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，
∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.
答案：D
6．解析：f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4
＝(x－1)( x－2)g(x)＋3x－4，
则f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0.
答案：B
二、填空题
7．解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴00，f()＝()－()<0.∴f(x)在(，)内存在零点．
答案：③
9．解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程
a＝2x－ex有解．
令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在
(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：
g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．
答案：(－∞，2ln2－2]
三、解答题
10．解：设f(x)＝3x－x2，
∵f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，
又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的，
∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．
又∵在(－∞，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减，
∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的．
∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．
因此方程3x－x2＝0只有一个负实数根．
11．解：∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有
，即，
∴－20≤q≤12.[来源: ]
∴实数q的取值范围为[－20,12]
12．解：(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：
可知若使g(x)＝m有零点，
则只需m≥2e.
法三：由g(x)＝m得
x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，
故等价于，
故m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，
即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[来源: ]
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