课时提能演练(六十六)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.(2012·湘潭模拟)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( )
(A)1 (B)－1 (C)0 (D)2
2.（2011·重庆高考）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
3.(2012·长沙模拟)设(1+2x)10展开后为1+a1x+a2x2+…+a10x10,那么a1+a2=( )
(A)20 (B)200 (C)55 (D)180
4.（预测题）若的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是( )
（A）3 （B）4 （C）10 （D）12
5.（易错题）(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
(A)a＝2，b＝－1，n＝5
(B)a＝－2，b＝－1，n＝6
(C)a＝－1，b＝2，n＝6
(D)a＝1，b＝2，n＝5
6.若(1-2x)2 013=a0+a1x+…+a2 013x2 013(x∈R),则的值为( )
(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-2
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.(2012·衡阳模拟)设(5x-)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中的常数项为__________.
8.（2011·安徽高考）设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=_______．
9.设(2x-1)5+(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a2|+|a4|=_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
11.已知
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【探究创新】
（16分）设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N,M-N=992.
(1)判断该展开式中有无x2项?若有，求出它的系数；若没有，说明理由;
(2)求此展开式中有理项的项数.
答案解析
1. 【解析】选A.令x=1,则a0+a1+…+a4=(2+)4,
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4.
∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4(-2+)4=1.
2.【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出x5与x6的系数,然后根据系数相等求出n的值.
【解析】选B.x5的系数为,x6的系数为,由,可得,解之得n=7.
3. 【解析】选B.依题意，Tr+1=(2x)r,所以a1=10×2=20,a2=45×4=180,所以a1+a2=200,选B.
4.【解析】选B.
＝，令n－＝0，得n＝.
∴n取最小值为4.
5.【解析】选D.不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，∴n＝5，再验证选项知应选D.
6.【解析】选C.令x=0得a0=1；令x=得，故=-1.
7. 【解析】各项系数和为(5－1)n，二项式系数和为2n,由M-N=240,得n=4,解得常数项为－20.
答案：-20
8. 【解析】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而这两项的系数互为相反数,即a10+a11=0.
答案:0
9.【解析】由(2x-1)5+(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得常数项a0=
（-1）5+24=15，
x2项的系数为a2=,
,则|a0|+|a2|+|a4|=15+16+79=110.
答案：110
10.【解析】令x=1,则
a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①
令x=-1,则
a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②
(1)∵a0= =1,∴a1+a2+…+a7=-2.
(2) (①－②)÷2得：
a1+a3+a5+a7==-1 094.
(3) (①+②)÷2得：
a0+a2+a4+a6==1 093.
(4)∵(1-2x)7展开式中，a0,a2,a4,a6大于零，而a1,a3,a5,a7小于零，
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=（a0+a2+a4+a6）－（a1+a3+a5+a7）=1 093+1 094=2 187.
11. 【解析】(1)由题意可知展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们是
，
.
(2)展开式通项为 ．
假设Tr＋1项系数最大，则有
∴展开式中系数最大的项为
【方法技巧】关于最大项的求解技巧
(1）求二项式系数最大的项：
①如果n是偶数，则中间一项（第（）项）的二项式系数最大；
②如果n是奇数，则中间两项（第项与第()项）的二项式系数相等并最大.
（2）求展开式系数最大的项：如求(a+bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A0,A1,A2，…,且第r+1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项.
【变式备选】在(1+2x)10的展开式中,
(1)求系数最大的项;
(2)若x=2.5，则第几项的值最大?
【解析】(1)设第r+1项的系数最大，由通项公式得Tr+1=，依题意知Tr+1项的系数不小于Tr项及Tr+2项的系数.
则解得
∴且r∈Z,∴r=7,
故系数最大的项为.
（2）设展开式中的第r+1项的值最大，
则Tr+1≥Tr＞0,Tr+1≥Tr+2＞0
∴.
∴
将x=2.5代入得得.
∴r=9，即展开式中的第10项的值最大.
【探究创新】
【解析】令x=1得M=4n,而N=2n,由M-N=992,
得4n-2n=992.即(2n-32)·(2n+31)=0，
故2n=32,n=5.
(1)
由题意，令,解得k=3，故含x2项存在.
它的系数为=-250.
(2)展开式中的有理项应满足,故k只能取3，即展开式中只有一项有理项.
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