课时提能演练(六十一)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.在长为3 m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1 m的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
2.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
(A) (B)1－
(C) (D)1－
3.(2012·肇庆模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
5.(易错题)若a，b在区间[0，]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是( )
(A) (B) (C) (D)1－
6.(2012·宝鸡模拟)在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx
≤1”发生的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝，导函数为f′(x)，在区间[2,3]上任取一点x0，使得f′(x0)>0的概率为 .
8.设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 .
9.已知函数f(x)＝log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.
(1)求空弹出现在第一枪的概率；
(2)求空弹出现在前三枪的概率；
(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小).
11.(2012·延安模拟)如图所示，有两个独立的转盘(A)、(B).两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘玩游戏，规则如下：依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不会动，当指针恰好落在分界线上时，则这次结果无效，重新开始)，记转盘(A)指针对的数为x，转盘(B)指针对的数为y，记x＋y的值为ξ，每转动一次则得到奖励分ξ分.
求x＜2且y＞1的概率.
【探究创新】
(16分)在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，求函数f(x)＝x3＋ax－b在区间
[－1,1]上有且仅有一个零点的概率.
答案解析
1.【解析】选B.由题意可设线段AB的三等分点为C、D，如图，
当点P位于C、D之间时满足条件，故所求概率为.
2.【解析】选B.如图，根据几何概型的概率公式得概率为
P＝＝＝1－.
3.【解析】选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P＝.
4.【解析】选D.如图，在Rt△ABC中，作AM⊥BC，M为垂足.
由题意知：AB＝1，BC＝2，可得BM＝，则∠AMB≥90°的概率为：P＝＝.
5.【解题指南】f(x) 在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0.
【解析】选C.易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2－12a2>0，又a，b在区间[0，]上取值，则a>0，b>
a，满足条件的点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.
6.【解析】选C.由sinx＋cosx≤1得sin(x＋)≤，
∴2kπ－≤x＋≤＋2kπ，
∴2kπ－π≤x≤－＋2kπ，
令k＝1得≤x≤π，又0≤x≤π，
∴所求概率为P＝＝.
7.【解析】由已知得f′(x)＝，故f′(x)>0>0，解得0
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