课时提能演练(七十)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是 ( )
（A）X=4 （B）X=5
（C）X=6 （D）X≤5
2.(2012·益阳模拟)已知随机变量ξ的分布列如下，且E(ξ)=6.3,则a的值
为( )
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
3.设随机变量Y的分布列为:
Y
-1
2
3
P
m
则“≤Y≤”的概率为( )
（A） （B）
（C） （D）
4.若离散型随机变量X的分布列为：
Y
0
1
P
9c2-c
3-8c
则常数c的值为( )
（A） （B） （C） （D）1
5.（2012·淮安模拟）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
（A）0 （B） （C） （D）
6.若某一射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是( )
（A）0.88 （B）0.12 （C）0.79 （D）0.09
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_______.
8.(易错题)某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将失去全部资金的50%.下面是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功：192次；投资失败：8次.
则该公司一年后估计可获收益的期望是_________万元.
9.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2012·珠海模拟）某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：
参加活动次数
1
2
3
人数
2
3
5
（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；
（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列.
11.（2011·广东高考改编）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.
【探究创新】
（16分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球；
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．
答案解析
1.【解析】选C.事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.
2. 【解析】选C.由题意得0.5+0.1+b=1，
且E(ξ)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,
∴b=0.4,a=7.
3.【解析】选C.∵,
∴.
4.【解题指南】根据分布列的性质列出不等式组求解.
【解析】选C.由
5.【解题指南】本题符合两点分布，先求出分布列，再根据分布列的性质求出概率P(X=0).
【解析】选C.设失败率为p，则成功率为2p.
∴X的分布列为：
X
0
1
P
P
2P
则“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功,
∴由p+2p=1得p=,即P(X=0)= .
6.【解析】选A.P（X≥7）=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88.
7.【解析】X＝－1，甲抢到1题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案：－1,0,1,2,3
8.【解析】获得收益ξ的概率分布为：
ξ
-
P
E(ξ)= ×-×=0.476(万元).
答案：0.476
9.【解题指南】女生人数服从超几何分布.
【解析】设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N=6,M=2,n=3,则
P(X≤1)= P(X=0)+P(X=1)=
答案：
10.【解析】（1）3人参加活动次数各不相同的概率为
P= =,
故这3名同学参加活动次数各不相同的概率为.
(2)由题意知：ξ=0,1,2,
P(ξ=0)=;
P(ξ=1)=;
P(ξ=2)=.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
【方法技巧】随机变量分布列的求法
(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件，思考目标事件如何用基本事件来表示，求出随机变量所有可能的值；(2)利用对立事件和互斥事件求出取每一个值时的概率，计算必须准确无误；(3)注意运用分布列的两条性质检验所求概率，确保正确后列出分布列.
11.【解题指南】（1）由已知求出抽取比例，从而求得乙厂生产的产品数量；
（2）由表格中数据估计乙厂生产的优等品率，然后估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）先确定ξ的所有取值，逐个计算出概率，列出分布列.
【解析】（1）由题意知，抽取比例为=，
则乙厂生产的产品数量为5×7=35(件)；
（2）由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为35×=14(件)；
（3）由（2）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.ξ的取值为0，1，2.
P(ξ=0)=, P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
从而分布列为
ξ
0
1
2
P
【变式备选】一球赛分为A、B两组，每组各有5个球队，第一轮比赛后每组的前两名将进入半决赛.为提高上座率，举行有奖竞猜活动（入场券背面设计成选票）：首场入场后立即要求观众从两组中各猜2个能进入半决赛的球队，猜中四个队获一等奖，猜中三个队获二等奖，猜中两个队获三等奖，猜中一个队获四等奖.设某人的获奖等级为ξ（当该人未获奖时，记 ξ=5），写出分布列.
【解析】ξ的可能取值为1，2，3，4，5
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=，
P(ξ=4)=,
P(ξ=5)=,
ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
【探究创新】
【解析】 (1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则
P(A)＝，得x＝5.故白球有5个．
②随机变量X的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝；P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)设袋中有n个球，其中有y个黑球，
由题意得y＝，所以2y＜n,2y≤n－1，故.
记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P(B)＝
=
＝.
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于，故袋中红球个数最少．
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