课时跟踪检测(三十九) 直接证明和间接证明
1．(2012·平顶山模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2 b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
3．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
4．(2013·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，
其中正确判断的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
6．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
8．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．
9．(2012·肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.
11．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.
12．设f(x)＝ex－1.当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.
1．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )
A．y＝log2x B．y＝
C．y＝x2 D． y＝x3
2．(2012·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点．若f (c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试比较与c的大小．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.______ ____ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(三十九)
A级
1．B 2.D 3.B 4.C
5．选C <a?b2－ac<3a2
?(a＋c)2－ac<3a2
?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
?－2a2＋ac＋c2<0
?2a2－ac－c2>0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)( a－b)>0.
6．选B 由已知条件，可得
由②③得代入①，
得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
7．解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜.∴a＜b.
答案：a＜b
8．解析：由余弦定理cos A＝＜0，
所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.
答案：a2＞b2＋c2
9．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小．
∴cn＋10.显然成立．故原不等式得证．
2．解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
3．解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根．
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设＜c，∵＞0，
∴由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0，
这与f＝0矛盾，∴≥c.
又∵≠c，∴＞c.
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