课时提能演练(三十三)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.(2012?长沙模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0则＝( )
(A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
2．数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，则{an＋bn}的前20项和为( )
(A)700 (B)710 (C)720 (D)730
3．已知数列{an}的通项公式(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn,则使Sn＜-5成立的自然数n( )
（A）有最大值63 （B）有最小值63
（C）有最大值31 （D）有最小值31
4.(易错题)已知数列{an}：，,…, +…+，…，若,那么数列{bn}的前n项和Sn为( )
(A) (B) (C) (D)
5.数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则等于( )
(A)(2n－1)2 (B)
(C) (D)4n－1
6.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 011项之和S2 011等于( )
(A)2 008 (B)2 010 (C)1 (D)0
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（预测题）设若则n的值为________.
8.（2012·衡水模拟）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于__________.
9.数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.(2012·湘潭模拟)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和,满足a22+a32＝a42+a52,S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项.
11.设函数y=f(x)的定义域为R，其图象关于点成中心对称，令（n是常数且n≥2,n∈N*），k=1,2，…，n-1，求数列{ak}的前n-1项的和.
【探究创新】
（16分）已知公差为d(d＞1)的等差数列{an}和公比为q(q＞1)的等比数列{bn}，满足集合{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1,2,3,4,5},
(1)求通项an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.
答案解析
1. 【解析】选A.通过8a2+a5=0,设公比为q,将该式转化为8a2+a2q3=0,解得q=-2,代入所求式可知答案选A.
2．【解题指南】根据等差数列的性质可知，｛｝仍然是等差数列，所以利用等差数列的求和公式求解即可.
【解析】选C.由题意知{}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：
3．【解析】选B.
=
∴∴n+2＞26,∴n＞62.
又n∈N*，∴n有最小值63.
4.【解析】选B.
∴
∴
=
5.【解析】选C.∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n－1－1(n≥2,n∈N*)，
∴an＝2n－2n－1＝2n－1，
当n=1时，a1=21-1=1,
∴a1也适合上式，∴an=2n-1,∴，
∴
6.【解题指南】根据数列的前5项写出数列的前8项，寻找规律，可发现数列是周期数列.
【解析】选A.由已知得an=an-1+an+1(n≥2),
∴an+1=an-an-1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009，-1，2 008，2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6,且S6=0.
∵2 011=6×335+1,
∴S2 011=S1=2 008.
7.【解析】,
∴
解得n=6.
答案： 6
【变式备选】已知数列{an}的通项公式an=4n，bn=,则数列{bn}的前10项和S10=( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选B.根据题意
所以{bn}的前10项和S10=b1+b2+…+b10=
=
=故选B.
8.【解析】令3x=t，则x=log3t
∴f(t)=4log3tlog23+233=4log2t+233
∴f(2n)=4n+233
∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)
=4(1+2+…+8)+233×8=2 008.
答案:2 008
【变式备选】数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+（-1）n(n∈N*),则S100=_______.
【解析】由an+2-an=1+(-1)n知
a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,
∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,
数列{a2k}是等差数列,a2k=2k.
∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=50+(2+4+6+…+100)
=50+=2 600.
答案:2 600
9.【解析】当n=1时，a1=S1=-1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5.
∴
令2n-5≤0得
∴当n≤2时，an＜0;当n≥3时,an＞0,
∴
答案:66
【方法技巧】绝对值型数列求和的求解策略：
(1)an是先正后负型的{|an|}的前n项和的求解策略：
找出an正负的分界点（假设前m项为正），考虑当{|an|}的项数n≤m时，|an|=an，{|an|}的前n项和Tn与{an}的前n项和Sn相等，当n＞m时，{|an|}的前n项和Tn=a1+a2+…+am-am+1-…-an=-Sn+2Sm.可以总结为“一求两考虑”.
(2)an是先负后正型的{|an|}的前n项和的求解策略：同样是“一求两考虑”，一求是求出an正负的分界点（假设前m项为负），两个考虑是当{|an|}的项数n≤m时，|an|=-an，Tn=-Sn，当n＞m时，{|an|}的前n项和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=-a1-a2-…-am+am+1+…+an=Sn-2Sm（Sn是数列｛an｝的前n项和）.
10.【解析】(1)设公差为d，则
由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3),
因为d≠0,所以a4+a3=0,
即2a1+5d=0,又由S7＝7得
解得a1=-5,d=2，所以{an}的通项公式为an=2n-7,前n项和Sn=n2-6n.
(2)因为
为数列{an}中的项，
故为整数，
又由(1)知：为奇数，
所以,即m=1,2.
经检验，符合题意的正整数只有m=2.
11.【解析】∵y=f(x)的图象关于点成中心对称,所以f(x)+f(1-x)=1.
令Sn-1=a1+a2+…+an-1,
则
又
两式相加，得
∴
【探究创新】
【解题指南】(1)结合等差数列与等比数列的项，由{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1，2，3，4，5}可得a3,a4,a5,b3,b4,b5的值，从而可求数列的通项.
(2)由于{an},{bn}分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的前n项和Sn.
【解析】(1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4.
而{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1，2，3，4，5}，
∴a3=1，a4=3，a5=5，b3=1，b4=2，b5=4,
∴a1=-3，d=2,b1=,q=2,
∴an=a1+(n-1)d=2n-5,bn=b1×qn-1=2n-3.
(2)∵anbn=(2n-5)×2n-3,
∴Sn=（-3）×2-2+(-1)×2-1+1×20+…+(2n-5)×2n-3,
2Sn=-3×2-1+(-1)×20+…+(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2,
两式相减得-Sn=(-3)×2-2+2×2-1+2×20+…+2×2n-3-(2n-5)×2n-2
=
∴.
【变式备选】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4，
（1）求数列{an}的通项公式;
(2)设求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的公差为d,由已知得
解得a1=3,d=-1.
故an=3-(n-1)=4-n.
（2）由（1）可得,bn=n·qn-1,于是
若q≠1，将上式两边同乘以q,
qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn.
两式相减得到(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1
=
于是,
若q=1，则.
所以，
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