课时提能演练(三十四)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.（2012·聊城模拟）已知各项不为0的等差数列{an}满足,数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6·b8=( )
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
2.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )
(A)10秒钟 (B)13秒钟
(C)15秒钟 (D)20秒钟
3.（易错题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
（A）（2，4） （B）（）
（C）（，-1） （D）（-1，-1）
4.已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
（A）35 （B）33 （C）31 （D）29
5.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1>b1，a1、b1∈N*(n∈N*)，则数列的前10项的和等于( )
（A）65 （B）75 （C）85 （D）95
6.（2012·合肥模拟）已知数列{an}为等差数列，若＜-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（2012·温州模拟）设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和Sn等于_________.
8.设Sn是数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数，则称数列｛an｝为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列{bn}________（填“是”或“不是”）“和等比数列”.
9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.(2012?岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*).
(1)求证数列{an}是等比数列，并求an;
(2)已知集合A＝{x|x2+a≤(a+1)x}，问是否存在实数a,使得对于任意的n ∈N*都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
11.(预测题)对于给定数列{cn},如果存在实常数p、q，使得cn+1＝pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”.
(1)若an=2n,bn=3?2n,n∈N*,数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；
(2)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3?2n(n∈N*).
①求数列{an}前2 011项的和.
②已知数列{an}是“M类数列”，求an.
【探究创新】
（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案解析
1.【解析】选D.∵数列{an}是等差数列，
∴a3+a11=2a7,
由2a3- +2a11=0，得=0,
又an≠0,∴a7=4,∴=16.
2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有
即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.
3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.
【解析】选B.由S2=10，S5=55，得
2a1+d=10,5a1+10d=55,
解得a1=3,d=4,可知直线PQ的一个方向向量是(1,4),只有与（1，4）平行,故选B.
4.【解析】选C.由a2·a3=a1·a4=2a1得a4=2,
又a4+2a7=,∴a7=,
设等比数列{an}的公比为q，则a7=,
∴,∴q=,a1=16,
∴.
5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得
an=a1+n-1,bn=b1+n-1,
∴
,
∴数列也是等差数列，且前10项和为.
【方法技巧】构造等差数列求解
在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.
（1）由递推公式构造等差数列
一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+3·2n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{}.
（2）由前n项和Sn构造等差数列.
（3）由并项、拆项构造等差数列.
6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn＜0的n的最小值.
【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由得.
∵
由Sn=0得n=0或
∵
∴Sn＜0的解集为{n∈N*|}
故使得Sn＜0的n的最小值为20.
方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,
由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.
7.【解析】∵y′=nxn-1-(n+1)xn,∴y′|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n，即an=(n+1)·2n,
∴,∴Sn=2n+1-2.
答案：2n+1-2
8.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.
【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以
设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列{bn}是“和等比数列”.
答案：是
9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,…,a10,
则
则
即an=2an-1,
因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以
答案：2 046
10.【解析】(1)当n=1时，
∵(a-1)S1=a(a1-1)，即(a-1)a1=a(a1-1),
∴a1=a(a>0);
当n≥2时，
∵(a-1)Sn=a(an-1)(a>0),
∴(a-1)Sn-1=a(an-1-1)(a>0),
∴(a-1)an=a(an-an-1),
变形得：(n≥2),
∴数列是以a1=a为首项，以a为公比的等比数列，即an=an.
(2)当a=1时，A＝{1}，Sn＝n,只有n=1时，Sn∈A,
∴a=1不合题意；
当a>1时，A＝{x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,
∴S2A,
∴a>1时不存在满足条件的实数a;
当0
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