巩固双基,提升能力
一、选择题
1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
答案：C
2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B.n－1
C．n2 D．n
解析：方法一：由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝.∴数列是常数列，且＝＝1.
∴an＝n.
方法二(累乘法)：n≥2时，＝，
＝，
?
＝，
＝，
以上各式两边分别相乘，得＝n.
又∵a1＝1，∴an＝n.
答案：D
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
解析：∵an＋1＞an，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
即k＞－(2n＋1)对于n∈N*都成立．
而－(2n＋1)当n＝1时取到最大值－3，所以k＞－3.
答案：D
4．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a17＝( )
A．1 B．2
C. D．2－987
解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝， a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.
答案：C
5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知，得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3a2＝a2＋(－1)3.∴a3＝.
∴a4＝＋(－1)4.∴a4＝3.
∴3a5＝3＋(－1)5.∴a5＝.
∴＝＝.
答案：C
6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：方法一：n＝1时，a1＝，∴＝a＋b.①
当n＝2时，a2＝，∴＋＝4a＋2b.②
由①②得，a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
方法二：a1＝，Sn＝＝2n2－n.
又Sn＝an2＋bn，∴a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
答案：B
二、填空题
7．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝__________.
解析：∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋＝n2－2n＋21.
答案：n2－2n＋21
8．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝__________.
解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1，
∴Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.
∵n＝1时不适合an，
∴an＝
答案：
9．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝__________，a2 014＝__________.
解析：a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0.
答案：1 0
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．
解析：由S1＝1，得a1＝1.又由S2＝2可知，a2＝1.
∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*，且n≥2)，
∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*，且n≥2)．
即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)．
∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．
∴数列{an}的通项公式为an＝n∈N*.
11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由已知，{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.
(2)由已知，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，得an－an－1＝3n－2.
由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，
累加得an－a1＝4＋7＋…＋3n－2
＝
＝.
∴an＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝＝1，
∴数列{an}的通项公式an＝.
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求{bn}的通项公式；
(2)求n为何值时an最小.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，得
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.
∴bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，
?
b3－b2＝2×2－6，
b2－b1＝2×1－6，
累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)．
n＝1时，b1也适合此式．
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，
∴当n＜8时，an＋1＜an；
当n＝8时，a9＝a8；
当n＞8时，an＋1＞an.
∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．
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