巩固双基,提升能力
一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.或
解析：设{an}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝.而＝q＝.
答案：B
2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )
A．10秒钟 B．13秒钟
C．15秒钟 D．20秒钟
解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…an则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
答案：C
3．数列{an}中，an＝3n－7(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2，且n∈N*)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值( )
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在，且不唯一 D．不一定存在
解析：依题意，
bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2
＝3n－7＋(3n－2)logk
＝n－7－2logk.
若an＋logkbn是常数，则3＋3logk＝0.
即logk3＝1，∴k＝3.
答案：B
4．已知数列{an}满足an＋1＋an－1＝2an，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的三点A、B、C，又知a2＋a2 009＝，则S2 010＝( )
A．1 004 B．2 010 C．2 009 D．1 005
解析：如图所示，
设＝λ，则a2＋a2 009＝＝＋＝＋λ＝＋λ(－)．
故(a2－1＋λ)＝(λ－a2 009).
又∵A、B、C三点不重合，
∴∴a2＋a2 009＝1.
又∵an＋1＋an－1＝2an，n≥2，∴{an}为等差数列．
∴S2 010＝
＝＝1 005.
答案：D
5．抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交点分别为An，Bn(n∈N*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 010B2 010|的值是( )
A. B.
C. D.
解析：令y＝0，则(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0.
设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.
解得x1＝，x2＝
∴|AnBn|＝－，
∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝＋＋…＋＝1－＝.
∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 010B2 010|＝.
答案：B
6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，
两式相除，得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.
又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
答案：D
二、填空题
7．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式＋＋＋…＋≥0成立的最大自然数n是__________．
解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，＋＋＋…＋＝(a1＋a2＋…＋an)－＝－＝－≥0，
∴≥.
∵0＜q＜1，化简，得a≥，q4≤qn－1，
∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.
答案：5
8．已知函数f(x)＝sinx＋tanx，项数为27的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝__________时，f(ak)＝0.
解析：由于f(x)＝tanx＋sinx，显然该函数为奇函数．
若an∈，且f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，可以得出等差数列{an}的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a14＝0?f(a14)＝0.
答案：14
9．在各项均为正数的数列{an}中，Sn为前n项和，na＝(n＋1)a＋anan＋1且a3＝π，则tanS4＝__________.
解析：由na＝(n＋1)a＋anan＋1.
可得(an＋an＋1)(nan＋1－nan－an)＝0.
∵数列{an}各项都为正数，
∴an＋an＋1＞0，∴nan＋1－nan－an＝0.
∴＝.
∴＝，＝，…，＝.
各式相乘，得＝.
∵a3＝π，∴an＝.
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＋＝.
∴tanS4＝tan＝tan＝.
答案：
三、解答题
10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n＞6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，故
Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
＝570＋70××4×
＝780－210×n－6，
An＝.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．
又A8＝＝82＞80，
A9＝＝76＜80.
所以须在第9年初对M更新．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图像过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，(n∈N*)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由f′(x)＝2ax＋b，∴.
解之得a＝，b＝2n，即f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．
(2)由＝＋2n，∴－＝2n.
由累加得－＝n2－n，∴an＝(n∈N*)．
12．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(n∈N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝.若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
解析：(1)由x＞0，y＞0,3n－nx＞0，得0＜x＜3.
∴x＝1，或x＝2.
∴Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．
记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2.
则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n.
∴an＝3n(n∈N*)．
(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，
∴Tn＝，
∴Tn＋1－Tn＝－＝，
∴当n≥3时，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝.
于是T2，T3是数列{Tn}中的最大项，故m≥T2＝.
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