课时提能演练(四十四) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·长春模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　) (A)π　　 　 (B)56π　　 　(C)14π　　　 (D)64π 2.(2012·西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为(　　)
(A) 　　　 (B) 　　　　(C)1 　　　 (D) 3.如图，一个简单组合体的主视图和左视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心).则该组合体的表面积等于(　　)
(A)15π (B)18π (C)21π (D)24π 4.(易错题)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为(　　) (A) (B) (C)a3 (D)a3 5.已知，某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积是(　　)
(A)π (B) (C) (D)π 6.某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为(　　)
(A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且分别位于上、下底面上的两点，圆柱底面的半径为1，高为2，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，最短路程为　　　　. 8.(2012·榆林模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为　　　　.
9.如图，有三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱、一个是过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分) 10.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积. 11.(2012·宿州模拟)已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB＝1，AC＝AD＝CD＝DE＝2，F、O分别为CE、CD的中点. (1)求证：CD⊥面AFO； (2)求三棱锥C－ADE的体积. 【探究创新】 (16分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度. (2)求该长方体外接球的表面积.
答案解析 1.【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则， 解得，令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32，解得 R2＝，∴S球＝4πR2＝14π. 2.【解析】选A.由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，V＝××(2＋1)×1×1＝. 【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
(A)π cm3 (B)3π cm3 (C)π cm3 (D)π cm3 【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V＝πr2h－πr3＝3π－π＝ π(cm3). 3.【解析】选C.由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相 应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝ π()2＋2π××2＋π××2＝21π. 4.【解析】选D.设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后，依题意得：当BD＝a时，BE⊥DE，∴DE⊥平面ABC，∴三棱锥D－ABC的高为DE＝a，∴VD－ABC＝×a2×a＝a3. 【误区警示】解答本题常见的错误是无法判定三棱锥的形状及其中的数量关系. 5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键. 【解析】选D.由三视图可知该几何体为圆锥，底面圆的半径为1，高为2，故母线长为.其侧面积为S＝π×1×＝π. 6.【解题指南】构造出关于a，b的关系式，利用基本不等式求最值. 【解析】选D.由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC＝，BD＝1，BC＝b，AB＝a. 设CD＝x，AD＝y， 则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2， y2＋1＝a2，消去x2，y2得a2＋b2＝8≥， 所以a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，所以V＝××1××＝. 【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a＋b取最大值这一条件. 7.【解析】沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间线段的长度最短，所以最短路线就是侧面展开图的长方形的一条对角线. 如图所示，MN＝＝2.
答案：2 8.【解析】这个几何体的直观图如图所示，其体积为×(2＋4)×2×6＝36.
答案：36 9.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方体的边长为a，则长方体体积为a3，三棱柱体积为a3，四分之一圆柱的体积为πa3，所以它们的体积之比为4∶2∶π. 答案：4∶2∶π 10.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体. 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4 (cm2)， 所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3). 11.【解析】(1)∵AB⊥平面ACD，DE∥AB， ∴DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD. ∵F、O分别为CE、CD的中点. ∴FO∥ED，∴FO⊥CD. ∵△ACD是等边三角形，∴AO⊥CD. ∴CD⊥面AFO. (2)∵AB⊥平面ACD，AB∥DE∥FO， ∴FO⊥平面ACD，∴FO⊥OA， ∵AO⊥CD， OF∩CD＝O， ∴AO⊥面CDE，∴AO是三棱锥A－CDE的高， ∴VC－ADE＝VA－CDE＝S△CDE·AO ＝××2×2×＝. 【变式备选】如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点.记CD＝x，V(x)表示四棱锥F－ABCD的体积.
(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值. 【解题指南】利用体积公式得到V(x)的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最大值. 【解析】(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝(01，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为. 由题意得＝2，解得x＝2. 即AB的长度为2. (2)设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2＝12＋12＋22＝6， ∴R2＝，∴S表＝4πR2＝6π. 即该长方体外接球的表面积为6π.

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