【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：7立体几何
一、选择题
1 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的
[Z （ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
由题意可知当四棱锥的直观图为，它的三视图是，选C.
2．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为，选A.
3．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选C.
4．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.
5．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.
6．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且,，,,,,底面梯形的面积为， ,,,侧面三角形中的高，
所以，所以该几何体的总面积为，选B.
7．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
8．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
9．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
【答案】C
【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
10．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
11．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选D.
二、填空题
12.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。
13.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.
【答案】
【解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
14．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
【答案】
【解析】由定义可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为0,2,3,4个。
三、解答题
15．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
（1）证明：底面为矩形
…………………………4分
（2）证明：取，连接
,
是平行四边形，
//，，
// ……………………………………8分
(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
设平面的法向量为
， ，
令
设平面的法向量为
令
，解得
线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分
16．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角
三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得
AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.
解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴
∴．
即该几何体的体积V为．----------------------------------4分
（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．----------------------------------4分
（3） ∵点Q在棱DE上，∴存在使得
同理
,即
∴，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 ----------------------------------14分
17.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求证： // 平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.……………………2分
又因为平面，
所以.……………………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.
因为是的中点，
所以.…………………………7分
又平面，
平面，
所以平面. ……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.
如图建立空间直角坐标系，则，, ，
.
，.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
所以
令.
所以.……………………………………………………………12分
又平面的法向量，
所以.
所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分
18.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。
（Ⅰ）求证：
(Ⅱ) 求证：
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。
的中位线 // ……2分
又
……4分
（II） 正方形中,
由已知可得：， …….6分
, …….7分
…….8分
（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
………9分
设
……10分
设平面的法向量为
则
得 ……11分
取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 ……12分
要使二面角的大小为
而
解得：
当=时，二面角的大小为 13分
19.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，
为棱的中点．
（Ⅰ）求证：// 平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．
因为四边形为正方形，所以为中点．
因为 为棱中点．
所以 ． ………………3分
因为 平面，平面，
所以直线//平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为平面，所以． …………5分
因为四边形为正方形，所以，
所以平面． ………………7分
所以平面平面． ………………8分
（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．
因为平面平面，所以平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． …………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平面的法向量为． ………………12分
所以 ． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ………………14分
解法二：取中点，中点，连结，．
因为为正方形，所以．
由（Ⅱ）可得平面．
因为，所以．
由两两垂直，建立如图所示
的空间直角坐标系． …………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平面的法向量为． ………………12分
所以． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ………………14分
20.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：
CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．
证明：
（Ⅰ）因为 三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以 CC1⊥BC． ……………………1分
因为 AC=BC=2，，
所以 由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………2分
又因为AC∩CC1=C，
所以 BC⊥平面ACC1A1． ……………………3分
因为 AM平面ACC1A1，
所以 BC⊥AM． ……………………4分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则
NP∥CC1，且∽． ……………5分
于是有．
由已知，有．
因为 BB1=CC1．
所以 NP=CM．
所以 四边形MCNP是平行四边形． ……………………6分
所以 CN//MP． ……………………7分
因为 CN平面AB1M，MP平面AB1M， ……………………8分
所以 CN //平面AB1 M． ……………………9分
（Ⅲ）因为 BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
所以 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…………………10分
因为 ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，． ……………………11分
设平面的法向量，则，．
即
令，则，即． ……………………12分
又平面MB1C的一个法向量是，
所以 ． ……………………13分
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
所以 二面角A-MB1-C的大小为． ……………………14分
21.（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，
(DE//BC ．
DE(平面PBC，BC(平面PBC，
(DE//平面PBC ．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PD AB． …………………………….5分
，BC AB，
DE AB． .... .......................................................................................................6分
又 ，
AB平面PDE．.........................................8分
PE(平面PDE，
ABPE ． ............................................................9分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，
PD平面ABC．................10分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,
=(1,0, )，=(0, , ）．
设平面PBE的法向量，
令
得． ............................11分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量为．………………….......................................12分
设二面角的大小为，
由图知，，
所以即二面角的大小为． ..........................................14分[
22.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分
解法二：
由且底面是正方形，如图，
建立空间直角坐标系
由已知设，
则
设为线段上一点，且，则
…………………………..12分
由题意，若线段上存在点，使，则，.
所以，，
故在线段上存在点，使，且…………………… 14分
23.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体中，，点在棱上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？
若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．
证明：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ……………………2分
在矩形中，因为，
所以．
所以面． ………………………4分
（Ⅱ）如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系．
依题意可知，，
，
设的长为，则，
．
假设在棱上存在点，使得∥平面．
设点，则，
．
易知．
设平面的一个法向量为，
则，即．………………………………………………7分
令得，，所以．
因为∥平面，等价于且平面．
得，所以．
所以，，所以的长为．………………………………9分
（Ⅲ）因为∥，且点，
所以平面、平面与面是同一个平面．
由（Ⅰ）可知，面，
所以是平面的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的长为． …………………………………………………………14分
24.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱中，，
是中点.
（I）求证：平面；
（II）若棱上存在一点，满足，求的长；
（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(I) 连接交于点，连接
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为的中位线，
所以 ………………2分
又平面，平面
所以平面 ………………4分
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
所以
设，所以，
因为，所以 ，解得，所以 ………………8分
（Ⅲ）因为，
设平面的法向量为，
则有，得，
令则，所以可以取， …………10分
因为平面,取平面的法向量为 ………11分
所以
平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ……14分
25.（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
【答案】（Ⅰ）证明： 在△中，
.又.
由
. …………………………4分
（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分
．
设为平面的一个法向量，
因为
所以， 令，得.
所以为平面的一个法向量． ……………………7分
设与平面所成角为．
则．
所以与平面所成角的正弦值为． …………………9
（Ⅲ）设,则
…………………12分
当时, 的最小值是．
即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分
26.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体中，，，为中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴平面，
又平面
∴ ………………1分
在长方形中，
∴ ………………2分
又
∴平面， ………………3分 而平面
∴ ………………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，则
令，则 ………………7分
………………9分
所以 与平面所成角的正弦值为 ………………10分
（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.
设的坐标为，则 因为 ∥平面
所以 ， 即， ，解得， ………………13分
所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……14分
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