【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】7：立体几何
一、选择题
1.（2013北京房山二模数学理科）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。所以几何体的表面积为，选A.
2 ．（2013北京海淀二模数学理科）某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。上部分为四棱锥。四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为，选B.
3．（2013北京昌平二模数学理科）已知四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为，此三角形的面积为：两个侧面面积为：，前面三角形的面积为：。所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6，选C.
4．（2013北京朝阳二模数学理科试题）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其中高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为，所以三棱锥的体积为，选A.
5．（2013北京东城高三二模数学理科）已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．
二、填空题
6．（2013北京顺义二模数学理科）一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则_______m.
【答案】4
由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：，即，解得。
7．（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形是正方形,平面,,,,, 分别为,,的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以.
又平面,平面, 所以平面
(Ⅱ)因为平面,,
所以平面, 所以,.
又因为四边形是正方形, 所以.
如图,建立空间直角坐标系, 因为,
所以,,,
,,.
因为,, 分别为,,的中点,
所以,,. 所以,.
设为平面的一个法向量,则,即,
再令,得.,.
设为平面的一个法向量,则,
即,令,得.所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为
(Ⅲ)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.
依题意可设,其中.由,则.
又因为,,所以.
因为直线与直线所成角为,,
所以=,即,解得.
所以,.
所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时
8.（2013北京昌平二模数学理科）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证: //平面;
(Ⅱ) 求证:面平面;
(Ⅲ) 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点,
为中点.∴在中,//
且平面,平面 ∴
(Ⅱ)证明:因为平面平面, 平面面
为正方形,,平面
所以平面.
∴
又,所以是等腰直角三角形,
且 即
,且、面
面
又面,
∴面面
(Ⅲ) 如图,取的中点, 连结,.
∵, ∴.
∵侧面底面,
, ∴,
而分别为的中点,∴,又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则有,,,.
若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结
设.
由(Ⅱ)知平面的法向量为.
设平面的法向量为.∵,
∴由可得,令,则,
故∴,解得,.
所以,在线段上存在点,使得二面角的余弦值为
9.（2013北京东城高三二模数学理科）如图,△是等边三角形, ,,将△沿折叠到△的位置,使得.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值.
【答案】(共14分)
(Ⅰ)证明:因为
所以,
又因为,且,
所以 平面,
因为平面,
所以 .
(Ⅱ)因为△是等边三角形,
,,
不防设,则 ,
又因为,分别为,的中点,
由此以为原点,,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.
则有,,,,,.
所以,.
设平面的法向量为.
则即令,则.所以.
又平面的一个法向量为.
所以 .
所以二面角的余弦值为
10．（2013北京丰台二模数学理科）如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PBDE;
(Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.
图(1) 图(2)
【答案】 解: (Ⅰ),,DEPE,
, DE平面PEB, , BP DE;
(Ⅱ)PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图),
设PE=,则B(0,4- ,0),D(,0,0),C(2,2-,0),P(0,0, ),
,,
设面PBC的法向量,
令, ,
,
BC与平面PCD所成角为30°,
, 解得:=,或=4(舍),所以,PE的长为
11．（2013北京顺义二模数学理科）如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.
(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)若二面角的大小为,求的长.
【答案】(I)证明:在长方体中,
因为平面,所以.
因为,所以四边形为正方形,
因此,又,所以平面.
又,且,所以四边形为平行四边形.
又在上,所以平面
(II)取的中点为,连接.
因为为的中点,所以且,
因为为的中点,所以,而,且,
所以,且,因此四边形为平行四边形,
所以,而平面,所以平面
(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,
则,
故.
由(I)可知平面,
所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,
则,
所以
令,则,
所以.
设与所成的角为,则.
因为二面角的大小为,所以,即,
解得,即的长为1
12.（2013北京房山二模数学理科）如图, 是正方形, 平面,
,.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)证明: 因为平面,
所以
因为是正方形,
所以,
所以平面,
从而
(Ⅱ)解:因为两两垂直,
所以建立空间直角坐标系如图所示
设,可知
则 ,,,,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,即,
令,则
因为平面,所以为平面的法向量, ,
所以
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为
(Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设.
则,因为平面,所以,
即,解得
此时,点坐标为,,符合题意
13．（2013北京海淀二模数学理科）如图1,在直角梯形中,,,,
. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点.
(I) 求证:平面平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.
【答案】解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面,所以
因为在直角梯形中,,,
,
所以,,所以是等边三角形,
所以是中点,
所以
同理可证
又
所以平面
(II)在平面内过作的垂线
如图建立空间直角坐标系,
则,,
因为,
设平面的法向量为
因为,
所以有,即,
令则 所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
(III)存在,事实上记点为即可
因为在直角三角形中,,
在直角三角形中,点
所以点到四个点的距离相等
14．（2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.
【答案】【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,,
所以
又因为 平面,
所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结,
由左视图知 ,所以 ∥,
在△中,易得,所以 .又 , 所以, .
又因为 ∥,,所以 ∥,.
所以四边形为平行四边形,所以 ∥
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以 .
设 ,其中
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得 或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
【方法二】(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示 的空间直角坐标系.
在△中,易得,所以 ,
因为 , 所以, .
由俯视图和左视图可得:
.
所以 ,.
因为 ,所以
又因为 平面,所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有
因为 ,,
所以 取,得
因为 ,所以
因为 平面, 所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
设 ,其中
所以 ,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
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