巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2012·大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
解析：依题意得a＝b＝，∴c＝2.
∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m.
又|PF1|－|PF2|＝2＝m.
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.
又|F1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.
答案：C
2．(2012·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：设焦距为2c，则得c＝5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝±x上，得a＝2b.结合c＝5，得4b2＋b2＝25，解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线方程为－＝1.
答案：A
3．(2012·课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
解析：设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x＝－4，代入双曲线的方程得16－y2＝a2，因为|AB|＝4，所以16－(2)2＝a2，即a2＝4，所以2a＝4，所以选C.
答案：C
4．(2012·福建)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. B．4 C．3 D．5
解析：y2＝12x的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b2＝9，b2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y＝x的距离d＝＝.
答案：A
5．(2012·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：依题意得直线F1B的方程为y＝x＋b，M点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ的垂直平分线的方程为y＝－(x－3c)，
由解得点P的坐标为，
由解得点Q的坐标为，
那么可得线段PQ的中点坐标为，代入y＝－(x－3c)并整理，可得2c2＝3a2，可得e＝＝＝，故应选B.
答案：B
6．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由解得x＝±，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所以＝，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝，故选C.
答案：C
二、填空题
7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为______．
解析：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝＝，所以m＝2.
答案：2
8．(2013·山东泰安调研)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为__________．
解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－＝1的两焦点．
当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.
答案：5
9．(2012·湖北)如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝__________.
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝__________.
解析：(1)由图可知，点O到直线F1B2的距离d与圆O的半径OA1相等，
又直线F1B2的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0.
所以d＝＝a，整理得b2(c2－a2)＝a2c2，即(c2－a2)2＝a2c2，得c2－a2＝ac.
所以e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
(2)连接OB(图略)，设BC与x轴的交点为E，由勾股定理得|BF1|＝＝b.
由等面积法得|BE|＝＝，
则|OE|＝＝.
进一步得到S2＝2|OE|·2|EB|＝.
又因为S1＝|F1F2||B1B2|＝2bc，
所以＝＝e3＝.
答案：(1)；(2)
三、解答题
10．(2013·安徽质检)已知点M是圆B：(x＋2)2＋y2＝12上的动点，点A(2,0)，线段AM的中垂线交直线MB于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与曲线C交于R，S两点， D(0，－1)，且有|RD|＝|SD|，求m的取值范围．
解析：(1)由题意得|PM|＝|PA|，结合图形得||PA|－|PB||＝|BM|＝2，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，a＝，c＝2，于是b＝1，故P点的轨迹C的方程为－y2＝1.
(2)当k≠0时，由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，(*)
由直线与双曲线交于R，S两点，显然1－3k2≠0，Δ＝(6km)2－4(1－3k2)(－3m2－3)＝12(m2＋1－3k2)＞0，
设x1，x2为方程(*)的两根，则x1＋x2＝，
设RS的中点为M(x0，y0)，则
x0＝，y0＝kx0＋m＝，
故线段RS的中垂线方程为
y－＝.
将D(0，－1)代入化简得4m＝3k2－1，
故m，k满足
消去k2即得m2－4m＞0，即得m＜0或m＞4，
又4m＝3k2－1≥－1，且3k2－1≠0，
∴m≥－，且m≠0，
∴m∈∪(4，＋∞)．
11．(2013·云南检测)双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于.
(1)求双曲线S的方程；
(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P(0,1)为顶点的△ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．
解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝.
∴双曲线S的方程可化为x2－2y2＝a2，
∵直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于，右焦点为，
∴＝，解方程得a＝.
∴双曲线S的方程为x2－2y2＝2.
(2)经过点(－2,0)，斜率等于k的直线的方程为y＝k(x＋2)．
根据已知设A(x1，kx1＋2k)，B(x2，kx2＋2k)，则AB的中点为M，△ABP是以AB为底的等腰三角形?PM⊥AB.
①如果k＝0，直线y＝k(x＋2)与双曲线S交于(－，0)，(，0)两点，显然满足题目要求．
②如果k≠0，由PM⊥AB得k×kPM＝－1.
∵kPM＝，
∴k×＝－1.
由得(1－2k2)x2－8k2x－8k2－2＝0.
根据已知得
∴k≠±.
∵x1＋x2＝，
∴kPM＝＝.
∴k×kPM＝k×＝＝－1，即2k2＋6k－1＝0，
解方程得k1＝，k2＝.
综上，k＝，或k＝0，或k＝.
12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
解析：(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程为：y＝±x.
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.
解方程组，得
∴所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.
(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，
|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得
∴|ON|2＝.同理|OM|2＝.
设O到直线MN的距离为d.
∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，
∴＝＋＝＝3，即d＝.
综上，O到直线MN的距离是定值．
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