第3讲 三角函数的图象与性质
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·山东)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝ ( )．
A. B. C．2 D．3
解析 由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.
答案 B
2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为
( )．
A．0 B. C. D.
解析 据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案 B
3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.
答案 A
4．(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是 ( )．
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤对x∈R恒成立，∴f＝±1，即sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.
∴对于φ＝kπ＋(k∈Z)，k为奇数．
∴f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.
∴由2mπ＋≤2x＋≤2mπ＋(m∈Z)，
得mπ＋≤x≤mπ＋(m∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是(m∈Z)．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．
解析 f＝f＝f＝sin ＝.
答案
6．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
解析 由0≤x≤，得0≤ωx≤<，
则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0<<，
所以＝，解得ω＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)设f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
解 (1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，
∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，
∴f(x)的值域为[0，]，
当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．
8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是 ( )．
A. B.
C. D．(0,2]
解析 取ω＝，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然?kπ＋，kπ＋π，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然?，k∈Z，排除D.
答案 A
2．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·徐州模拟)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.
答案
4．(2012·西安模拟)下列命题中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要条件；
②函数f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC为钝角三角形；
④若a＋b＝0，则函数y＝asin x－bcos x的图象的一条对称轴方程为x＝.
其中是真命题的序号为________．
解析 ①∵α＝2kπ＋(k∈Z)?tan α＝，
而tan α＝?/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正确．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|
＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②错误．
③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0，
即cos(A＋B)>0，∵00，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
综上，g(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．
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