【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】2：函数
一、选择题
． （2013北京东城区二模数学文科试题及答案） 则 等于
（A） （B） （C） （D）
D
，所以。选D.
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 （ ）
A． B． C． D．
D
A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。选D.
．（2013北京东城高三二模数学文科）根据表格中的数据,可以断定函数的零点所在的区间是 ( )
1
2
3
5
0
0.69
1
1.10
1.61
3
1.5
1.10
1
0.6
（ ）
A． B． C． D．
C
因为，，所以可以断定函数的零点所在的区间是，选C.
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长%,经过年,绿化面积与原绿化面积之比为,则的图像大致为
（ ）
A． B． C． D．
D
设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过年，绿化面积，因为绿化面积与原绿化面积之比为，则，则函数为单调递增的指数函数。可排除C，当x=0时，y=1，可排除A，B；选D.
．（2013北京西城高三二模数学文科）给定函数:①;②;③;④,其中奇函数是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
D
①为偶函数.；②非奇非偶.③为偶函数.④为奇函数，选D.
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）下列函数中,为偶函数且有最小值的是 （ ）
A． B． C． D．
D
A，B为非奇非偶函数。C是偶函数，但没有最小值, D.为偶函数。，当且仅当，即时取最小值，所以选D.
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知偶函数f(x)(x∈R),当时,f(x)=-x(2+x),当时,f(x)=(x-2)(a-x)().
关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m()的3个命题如下:
① 当a=2,m=0时,直线与图象G恰有3个公共点;
② 当a=3,m=时,直线与图象G恰有6个公共点;
③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
D
设，则，故，所以当时，。当时，。
①当a=2，m=0时，当时，，做出偶函数的图象如图，，由图象可知直线与图象G恰有3个公共点；所以①正确。
②当a=3,m=时，当时，，做出偶函数的图象如图，，由图象可知偶函数与直线有5个不同的交点，所以②正确。
③，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：
，使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；
其中正确命题的序号是①②③．选D.
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知,则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
A
，所以，，所以的大小关系为。选A.
．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知函数,定义函数 给出下列命题:
①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是 （ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②
C
①因为，而，两个函数的定义域不同，所以①不成立。②因为是偶函数。若，则，所以.若，则，所以，所以函数是奇函数，正确。③时，函数在上减函数，若，，则，所以，即成立，所以正确的是 ②③，选C.
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）定义运算,称 为将点映到点的一次变换.若= 把直线上的各点映到这点本身,而把直线上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值分别是 （ ）
A． B． C． D．
B
设是直线上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为。则有，即。设是直线上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为。则有，即。两式联立解得，选B.
．（2013北京西城高三二模数学文科）已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
B
由得，即.令，分别作出函数的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有，即实数的取值范围是，选B.
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）为了得到函数的图象,只需把函数的图象上 （ ）
A．所有点向右平移个单位长度 B．所有点向下平移个单位长度
C．所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) D．所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
B
因为，所以只需把函数的图象上所有点向下平移个单位长度，所以选B.
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）定义一种新运算:已知函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围为_(__)
A． B． C． D．
B
由定义可知。当单调递减，且，当时，单调递增，且，所以要使方程有两个不同的实根，则有。选B.
二、填空题
． （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）若函数在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m，则m的值是＿＿＿＿.
或
若，则有，解得。若，则有，解得。所以或
．（2013北京东城高三二模数学文科）对定义域的任意,若有的函数,我们称为满足“翻负”变换的函数,下列函数:
①,②,③中满足“翻负”变换的函数是___. (写出所有满足条件的函数的序号)
①③
①，所以满足，①满足“翻负”变换的函数。②若，则，，所以不满足“翻负”变换的函数。③若当时，。当时，，则。当时，，则。所以综上恒有，所以满足“翻负”变换的函数。所以满足“翻负”变换的函数的是①③。
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）设函数,则满足的的取值范围是__________.
当时，由得，解得。当时，由得，解得。综上。所以满足的的取值范围是。
三、解答题
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）如果函数的定义域为,对于定义域内的任意,存在实数使得成立,则称此函数具有“性质”.
(I)判断函数是否具有“性质”,若具有“性质”,求出所有的值;若不具有“性质”,请说明理由;
(II)设函数具有“性质”,且当时,.若与交点个数为2013个,求的值.
解:(I)由得,根据诱导公式得.具有“性质”,其中
(II)具有“性质”,,,
,从而得到是以2为周期的函数.
又设,则,
.
再设,
当(),,则,
;
当,则,;
对于(),都有,而,,是周期为1的函数.
①当时,要使得与有2013个交点,只要与在有2012个交点,而在有一个交点.过,从而得
②当时,同理可得
③当时,不合题意.
综上所述
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