第2讲 函数的单调性与最大(小)值
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·南昌一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是
( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析 对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．
答案 C
2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 ( )．
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析 法一 由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)>2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6>2x＋4，得x>－1，选B.
法二 设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，g(x)在R上为增函数．由g(x)>0，即g(x)>g(－1)．∴x>－1，选B.
答案 B
3．(2012·浙江)设a>0，b>0. ( )．
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则ab
D．若2a－2a＝2b－3b，则ab成立，故A正确，B错误．当00，即x<－2或x>2时，f(x)<0.由f(x)的图像知，x<－4或20，则－20时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)证明 设x10，∴f(Δx)>1，
∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，
∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．
又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2<2，∴－1x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，
x1x2>0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
只需f(x1)－f(x2)<0，
即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则
f(－3)等于 ( )．
A．2 B．3 C．6 D．9
解析 f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.
f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.
f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.
f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.
答案 C
2．(2013·太原质检)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间 为 ( )．
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析 f(x)＝?f(x)＝f(x)的图像如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如右图，则不等式f(x)<0的解集是________．
解析 法一 奇函数关于原点对称
.∵当00?－20.
∴综上，f(x)<0的解集为{x|－20)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有
f<.
其中正确命题的序号是____________．
解析 根据题意可画出草图，由图像可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．
答案 ①③④
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2011·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
(i)当a<0，b>0时，x>－，
解得x>log；
(ii)当a>0，b<0时，x<－，
解得x0,1－x1x2>0，
即>0.
又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，
∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1.
由题意，知f<0，即f(x2)
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