第8讲 函数与方程
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．
答案 B
2．(2013·上饶模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间 ( )．
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析 ∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.
答案 C
3．(2013·延安期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ( )．
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00时，函数f(x)的图像是以1为周期重复出现．而函数y＝x＋a是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a＝1)时与函数f(x)的图像交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a<1.
答案 (－∞，1)
6．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
解析 本题即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝.
即或和或
得x＝－3或x＝和x＝－或x＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当00)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的图像，y1、y2的图像有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.
答案 2
三、解答题(共25分)
5．(12分)设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0，a，c∈R)．
(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？
解 (1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．
若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，
所以00，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.
因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴是x＝.而f＝<0，
所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．
6．(13分)已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．
解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12.
(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.
①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，
解得t＝，∴t＝；
②当6
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