. 2014高考数学一轮课时专练（理科安徽省专用）：(三十二) [第32讲 数列的综合问题]
(时间：45分钟 分值：100分)
1．[2012·辽宁三校联考] “λ<1”是“数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝a－b(n∈N*)，其中a，b是常数，则存在数列{xn}，{yn}使得( )
A．an＝xn＋yn，其中{xn}是等差数列，{yn}是等比数列
B．an＝xn＋yn，其中{xn}和{yn}都是等差数列
C．an＝xn·yn，其中{xn}是等差数列，{yn}是等比数列
D．an＝xn·yn，其中{xn}和{yn}都是等比数列
3．[2012·威海一模] 已知函数f(x)＝x2＋2bx过点(1，2)，若数列的前n项和为Sn，则S2 012的值为( )
A. B. C. D.
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
5．[2012·湖南六校联考] 已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
6．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)，x∈R，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为( )
A．305 B．315
C．325 D．335
7．已知向量a＝(an，2)，b＝，且a1＝1，若数列{an}的前n项和为Sn，且a∥b，则Sn＝( )
A. B.
C. D.
8．[2012·开封模拟] 已知数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( )
A．9 B．10
C．11 D．12
9．[2012·信阳二调] 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2－1)3＋2 011(a2－1)＝sin，(a2 010－1)3＋2 011(a2 010－1)＝cos，则S2 011等于( )
A．0 B．2 011
C．4 022 D．2 011
10．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为________．
11．[2012·安徽师大附中模拟] 已知等比数列{an}的首项及公比均为正数，令bn＝＋(n∈N＋，n<2 012)，当bk是数列{bn}的最小项时，k＝________．
12．[2012·卓越联盟] 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，记{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a3＝b3，a4＝b4，且＝5，则＝________．
13．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2011的值等于________．
14．(10分)[2013·皖北校际协作] 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且点(，an)，n∈N*在直线y＝2x－1上，数列{bn}是公比为的等比数列，其前n项和为Tn，且b1＝a1.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若cn＝anTn，求数列{cn}的前n项和Bn.
15．(13分)[2012·湘潭三模] 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6 000元．某大学2012届毕业生凌霄在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元．该同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
(1)若该同学恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值；
(2)当x＝50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3 000元的基本生活费？
(参考数据：1.0518＝2.406，1.0519＝2.526，1.0520＝2.653，1.0521＝2.786)
16．(12分)[2012·安徽太和一中模拟] 二次函数y＝x2的图象如图K32－1所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，An，…在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，Bn，…在二次函数y＝x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An－1BnAn，…都是正三角形．
(1)求三角形△A2 011B2 012A2012的边长；
(2)设三角形△An－1BnAn的边长为an，bn＝3n＋(－1)n＋1λ·2an(λ为非零常数)，是否存在整数λ，使得对任意正整数n，都有bn＋1>bn？若存在，求出λ；否则，请说明理由．
图K32－1
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