【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】10：概率
一、选择题
．（2013届北京大兴区一模文科）若实数满足,则关于的方程无实数根的概率为 （ ）
A． B． C． D．
D
要使方程无实根，则判别式，即，,如图，阴影部分。所以三角形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为，所以由几何概率公式可得所求概率为，选D.
．（2013届北京市石景山区一模数学文）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
D
由题意可得,基本事件（m，n）（m，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．
若共线，则，得到．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量共线的概率,选D.
二、填空题
．（2013届北京东城区一模数学文科）从1,3,5,7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率为___.
从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，共有.组成的两位数是5的倍数，则个位数应为5，所以有种，所以组成的两位数是5的倍数的概率为。
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）用计算机产生随机二元数组成区域,对每个二元数组,用计算机计算的值,记“满足 <1”为事件,则事件发生的概率为________.
，矩形的面积为，圆的面积为，所以由几何概型公式可得.
三、解答题
．（2013届北京市延庆县一模数学文）某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示.
(Ⅰ)分别求出的值;
(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
(Ⅰ)第1组人数, 所以,
第2组人数,所以,
第3组人数,所以,
第4组人数,所以
第5组人数,所以
(Ⅱ)第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取人,人,人
(Ⅲ)记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为,第4组的记为, 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:
,,,,,
,,,,
,,,
,,
其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是:
,,,,,
,,,
故所求概率为
．（2013届北京东城区一模数学文科）为了解高三学生综合素质测评情况,对2000名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表:
优秀
良好
合格
男生人数
380
373
女生人数
370
377
(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?
(Ⅱ)若,,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.
(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:
.
因为,
故在优秀等级的学生中应抽取份.
(Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件.
因为,,,且,为正整数,
所以数组的可能取值为:
,,,,,共个.
其中满足的数组的所有可能取值为:
,,,,共5个,即事件 包含的基本事件数为.
所以.
故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为.
．（2013届北京丰台区一模文科）在一次抽奖活动中,有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖.
(Ⅰ)求a能获一等奖的概率;
(Ⅱ)若a、b已获一等奖,求c能获奖的概率.
(Ⅰ)设“a能获一等奖”为事件A,
事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人,能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15个,
包含a的有5个,所以,P(A)=,
答: a能获一等奖的概率为
(Ⅱ)设“若a、b已获一等奖,c能获奖”为事件B,
a、b已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16个,
其中含有c的有7种,所以,P(B)=,
答: 若a、b已获一等奖,c能获奖的概率为
．（2013届北京海淀一模文）在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;
(II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.
: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,
所以该考场有人
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
(Ⅲ)因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的两科成绩等级均为A,
所以还有2人只有一个科目得分为A
设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为
{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},一共有6个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,则
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人.
(I)若从初高中各选1名同学做代表,求选出的2名同学性别相同的概率;
(II)若从6名同学中任选2人做代表,求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.
设高中部三名候选人为A1,A2,B.初中部三名候选人为a,b1,b2
(I)由题意,从初高中各选1名同学的基本事件有
(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),
(A2,a),(A2,b1),(A2,b2),
(B,a),(B,b1),(B,b2), 共9种
设“2名同学性别相同”为事件E,则事件E包含4个基本事件,
概率P(E)=
所以,选出的2名同学性别相同的概率是
(II)由题意,从6名同学中任选2人的基本事件有
(A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),
(A2,B), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a),
(B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2) 共15种
设“2名同学来自同一学部”为事件F,则事件F包含6个基本事件,
概率P(F)=
所以,选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是
．（2013届北京大兴区一模文科）一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:
学生
数学
89
91
93
95
97
物理
87
89
89
92
93
(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;
(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.
:5名学生数学成绩的平均分为:
5名学生数学成绩的方差为:
5名学生物理成绩的平均分为:
5名学生物理成绩的方差为:
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.
(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A
5名学生中选2人包含基本事件有:
共10个.
事件A包含基本事件有:共7个.
所以,5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为.
．（2013届北京西城区一模文科）某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过小时收费元,
超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过小时.
(Ⅰ)若甲停车小时以上且不超过小时的概率为,停车付费多于元的概率为,求甲
停车付费恰为元的概率;
(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为元的概率.
(Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为元”为事件,
则 .
所以甲临时停车付费恰为元的概率是
(Ⅱ)解:设甲停车付费元,乙停车付费元,其中
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:
,共种情形
其中,这种情形符合题意
故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为
．（2013届房山区一模文科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级;在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级;在微克/立方米以上空气质量为超标.
某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).
(Ⅰ) 若从这天的数据中随机抽出天,求至多有一天空气质量超标的概率;
(Ⅱ)根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?
日均值(微克/立方米)
3
3
4
8
1
7
9
3
9
7
解:由茎叶图可知:6天有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标
记未超标的4天为,超标的两天为,则从6天抽取2天的所有情况为:
,
基本事件总数为15
(Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件,则“两天都超标”为事件,
易得,
所以
(Ⅱ)天中空气质量达到一级或二级的频率为
,
所以估计一年中平均有天的空气质量达到一级或二级
(说明:答243天,244天不扣分)
．（2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标；
（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;
（Ⅲ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．
解：（Ⅰ），…………2分
64.8在35与75之间，空气质量属于二级，未超标. …………3分
（Ⅱ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,
. …………6分
（Ⅲ）由茎叶图知PM2.5数据在之间的有21、26，PM2.5数据在之间的有37、59、60、63，
从这六个数据中，任意抽取2个的结果有： (21，37)，(21，59)，(21 ，60)，(21，63)，
(26，37)，(26，59)，(26 ，60)，(26，63)，
(21，26)，(37，59)，(37 ，60)，(37，63)，
(59，60)，(59，63)，(60 ，63) ． 共有15个. …………10分
记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B, . …………13分
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