【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】11概率与统计
1．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
【答案】30
由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。
2．（2013届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是 ，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．
【答案】
甲的测试成绩的平均数是，乙的测试成绩的平均数是，乙的测试成绩的中位数为，所以乙次测试成绩的平均数与中位数之差是。
专题：概率
一、选择题
1.（2013届北京石景山区一模理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可得,基本事件（m，n）（m，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．
若共线，则，得到．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量共线的概率,选D.
2．（2013届北京大兴区一模理科）若实数满足，则关于的方程有实数根的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
要使方程有实根，则判别式，即，,如图，阴影部分。所以三角形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为，所以由几何概率公式可得所求概率为，选C.
3．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
到圆心的距离大于且小于的圆环面积为，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为，选A.
4．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：
学生
数学
89
91
93
95
97
物理
87
89
89
92
93
（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。
从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．
【解析】（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:
5名学生数学成绩的方差为:
5名学生物理成绩的平均分为:
5名学生物理成绩的方差为:
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.
（Ⅱ）由题意可知，，，
随机变量的分布列是
X
0
1
2
P（X）
5．（2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值。
【解析】（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为. ……………………………………5分
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分
P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= ,
P(X=1000)= , …………………………………………10分
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P
……………11分
∴E(X)=0×+400×+600×+1000×=500(元).
答: 甲获奖的金额的均值为500(元). …………………………13分
6．（2013届北京海淀一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
【解析】（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为………………3分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
………………7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20………………8分
，
，
所以的分布列为
16
17
18
19
20
………………11分
所以
所以的数学期望为………………13分
7．（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数
进行监测,获得日均浓度指数数据如茎
叶图所示:
（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内
哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市
空气质量类别均为优或良的概率；
(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,
求的分布列及数学期望.
【解析】（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. ………2分
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………4分
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………6分
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.
………8分
(Ⅲ)的取值为， ………9分
，，
的分布列为：
数学期望 ………13分
8．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；
（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
（Ⅰ）【解析】依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ，…………1分
所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．…2分
设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， ……3分
则 ，
故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为． …………5分
（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为． ………6分
， ，
， ．……………10分
所以，随机变量的分布列为:
………………11分
． ………………13分
9．（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.
【解析】（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：
．
（Ⅱ）的可能取值是：．
0
2
4
6
8
10
所以．
10．（2013届房山区一模理科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．
日均值(微克/立方米)
2
8
3
7
1
4
3
4
4
5
5
6
3
8
7
9
8
6
3
9
2
5
某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
【解析】（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天
记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
则 ……………………………………3分
（Ⅱ）的可能值为， ……………………4分
……………………………………………8分
所以的分布列为
…………………………………9分
………………………………10分
（Ⅲ）天的空气质量达到一级或二级的频率为 ………………11分
，
所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级. ……………… 13分
（说明：答243天，244天不扣分）
11．（2013届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
【解析】（Ⅰ）
这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分
（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则
事件B “至少一个路段严重拥堵”，则
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是……………8分
（III）分布列如下表：
30
36
42
60
0.1
0.44
0.36
0.1
此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．……………………………13分
12.（2013届北京朝阳区一模理科）（16）（本小题满分13分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则
．
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．…………………………3分
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．
所以．
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分
（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为．
； ；
； ；
； ．
所以随机变量的分布列为
所以．……………………13分
13.（2013届北京石景山区一模理科）（本小题满分13分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
PM2.5日均值（微克/立方米）
2
1 6
3
7
5
9
6
0 3
8
5 6
10
4 7
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望.
解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,
. …………2分
（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B, . …………5分
（Ⅲ）的可能值为，
；；
…………9分
其分布列为：
…………13分
【点此下载】