【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】14导数
1．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 （ ）
A．1 B．8 C． D．
【答案】B
，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B.
2．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数，．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
【解析】（I），.
由，得，或.
①当，即时，在上，，单调递减；
②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减。
综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为。
（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；
（2）当时，
若，即时，在上单调递减，不存在最小值；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
因为，且当时，，所以时，。
又因为，所以当，即时，有最小值；，即时， 没有最小值。
综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。
3．（2013届北京丰台区一模理科）已知函数，.
(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………1分
则， ……………………………3分
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
即,解得或……………………6分
(Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
ab=8，所以，(x≠-a),
,
令，得，或, …………………8分
因为，所以，
故当，或时，，当时，，
函数(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为, ………………10分
,,，
当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增,
(x)在该区间的最小值为， ………………11分
当时,即,
(x)在[-2,单调递减, 在单调递增，
(x)在该区间的最小值为，………………………………………………12分
③当时,即时,
(x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为，………13分
综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分）
4．（2013届北京海淀一模理科）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I) 当时，求的单调区间；
(II) 若在上的最大值为，求的值.
解：（I）因为所以………………2分
因为函数在处取得极值
………………3分
当时，，，
随的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
………………5分
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为………………6分
(II)因为
令,………………7分
因为在 处取得极值，所以
当时，在上单调递增，在上单调递减
所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分
当，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，解得………………11分
当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，
解得，与矛盾………………12分
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或. ………………13分
5．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数.
(Ⅰ) 讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值.
解：函数的定义域为， ………1分
(Ⅰ)， ………4分
（1）当时，，所以在定义域为上单调递增； …5分
（2）当时，令，得（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，
在区间上单调递增； ………7分
（3）当时，令，得，（舍去），
当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，
在区间上单调递增. ………9分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增. ………10分
（1）当，即时，在区间单调递减，
所以，； ………11分
（2）当，即时，在区间单调递减，
在区间单调递增，所以，………12分
（3）当，即时，在区间单调递增，
所以. ………13分
6．（2013届北京西城区一模理科）已知函数，，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：的定义域为， ………………1分
且 ． ………………2分
① 当时，，故在上单调递减．
从而没有极大值，也没有极小值． ………………3分
② 当时，令，得．
和的情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值． …………5分
（Ⅱ）解：的定义域为，且 ． ………………6分
③ 当时，显然 ，从而在上单调递增．
由（Ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意． …………8分
④ 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．……9分
⑤ 当时，令，得．
和的情况如下表：
↘
↗
当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． ………11分
当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是． ……13分
7．（2013届东城区一模理科）已知函数，（为常数，为自然对数的底）．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由．
【解】：（Ⅰ）当时，．
．
所以．
（Ⅱ）
．
令，得或．
当，即时，
恒成立，
此时在区间上单调递减，没有极小值；
当，即时，
若，则．
若，则．
所以是函数的极小值点．
当，即时，
若，则．
若，则．
此时是函数的极大值点．
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当，且时，，
因此是的极大值点，极大值为．
所以．
．
令．
则恒成立，即在区间上是增函数．
所以当时，，即恒有．
又直线的斜率为，
所以曲线不能与直线相切．
8．（2013届房山区一模理科数学）已知函数 , .
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得
成立，求实数b的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时， ……………………1分
…………….…2分
所以曲线在点处的切线方程…………………………….…3分
（Ⅱ）………4分
当时，
解，得，解，得
所以函数的递增区间为，递减区间为在 ………………………5分
时，令得或
i）当时，
x
)
f’(x)
+
-
+
f(x)
增
减
增
…………
……………6分
函数的递增区间为，，递减区间为……………………7分
ii）当时，
在上，在上 ………………………8分
函数的递增区间为，递减区间为 ………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以， …………………………………11分
存在，使
即存在，使，
方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于
所以有
即解得： ………………………………………………13分
方法二：将
整理得
从而有
所以的取值范围是. ……………………………………13分
9．（2013届门头沟区一模理科）已知函数．
（Ⅰ）函数在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】 （Ⅰ） ………………………2分
， ……………………………3分
因为函数在点的切线与直线平行
所以， ……………………………5分
（Ⅱ）
令
当时，，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立．…………6分
当时， ……………………………7分
若，，结论不成立 …………………9分
若，则，在上，有，函数增；
在上，有，函数减，
只需 ，得到，
所以 ……………………11分
若，，函数在有极小值，只需
得到，因为，所以 ………………13分
综上所述， ………………14分
10.（2013届北京朝阳区一模理科）（18）（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
（18）（本小题满分1 3分）
解：函数定义域为， 且…………2分
①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，
令，得，函数的单调递增区间为.
②当，即时，令，得或，
函数的单调递增区间为，.
令，得，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分
(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.
所以在上的最小值为，
由于，
要使在上有且只有一个零点，
需满足或解得或.
②当时，由(Ⅰ)可知，
（ⅰ）当时，函数在上单调递增；
且，所以在上有且只有一个零点.
（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
又因为，所以当时，总有.
因为，
所以.
所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，
从而当时，在上有且只有一个零点.
综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分
11.（2013届北京石景山区一模理科）18．（本小题满分13分）
已知函数,.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）在区间上, . ……………………1分
①若,则,是区间上的减函数； ……………3分
②若,令得.
在区间上, ,函数是减函数;
在区间上, ,函数是增函数;
综上所述，①当时,的递减区间是，无递增区间；
②当时，的递增区间是，递减区间是. …………6分
（II）因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意. …………7分
由已知则 …………………8分
令，则 …………………10分
易得在上递减，在上递增， …………………12分
所以，即． …………13分
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