多考点综合练(四)
测试内容：数列
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为 ( )
A．1或－ B．1
C．－ D．－2
解析：由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0.解得q＝1，或－.
答案：A
2．已知数列{an}中a1＝1以后各项由公式an＝an－1＋(n≥2)给出，则a4等于 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以a2＝a1＋＝1＋－，
a3＝a2＋＝1＋－＋－，
a4＝a3＋＝1＋－＋－＋－＝1＋－＝，
故选A.
答案：A
3．(2012年济南一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a9＋a11＝30，那么S13的值是 ( )
A．65 B．70
C．130 D．260
解析：a1＋a1＋8d＋a1＋10d＝30
3a1＋18d＝30
a1＋6d＝10，a7＝10
S13＝＝13a7＝130，故选C.
答案：C
4．(2011年辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为 ( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由于anan＋1＝16n，所以a1a2＝16，a2a3＝162，两式相除得q2＝16，又a1a2＝aq＝16，所以q>0，因此q＝4，故选B.
答案：B
5．已知等比数列{an}中，若a1 006·a1 008＝4，则该数列的前2 013项的积为
( )
A．42 013 B．±42 013
C．22 013 D．±22 013
解析：由等比数列{an}的性质知a1 006·a1 008＝a1 005·a1 009＝a1 004·a1 010＝…＝a2a2 012＝a1a2 013＝a＝4，
因此a1a2…a2 013＝(a1·a2 013)(a2·a2 012)…(a1 006·a1 008)a1 007＝41 006·(±2)＝±22 013，故选D.
答案：D
6．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为 ( )
A. B．－
C.或 － D.
解析：由题意可知，3(a2－a1)＝－4－(－1)＝－3，∴a2－a1＝－1；
又b＝(－1)×(－4)＝4，且b2<0，
∴b2＝－2.∴＝.
答案：A
7．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)，则数列{an}的通项公式为 ( )
A．an＝n＋1 B．an＝n
C．an＝n－1 D．an＝3·n－1
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1，化简得2an＝－an＋an－1，即＝.又由S1＝a1＝(1－a1)，得a1＝，
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列．[来源:Ks5u.com]
所以an＝×n－1＝n.
答案：B
8．(2012年福州质检)已知数列{an}中，a1＝，
an＋1＝则a2 012等于 ( )
A. B.
C. D.高&考%资(源#网
解析：当a1＝时，a2＝2×－1＝；当a2＝时，a3＝2×－1＝；当a3＝时，a4＝2×＝；当a4＝时，a5＝2×＝，所以数列{an}的周期为4，而＝503，所以a2 012＝a4＝.
答案：C
9．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于 ( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：由a2＝2，a5＝，得a1＝4，q＝.
则an＝4·n－1＝23－n，anan＋1＝25－2n＝23·n－1.
所以a1a2，a2a3，…，anan＋1是以为公比，以23为首项的等比数列，
故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．
答案：C
10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )[来源:高&考%资(源#网]
A．5年 B．6年
C．7年 D．8年
解析：由题意可知第一年的产量为a1＝×1×2×3＝3吨；以后第n(n＝2,3，…)年的产量为
an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－(n－1)·n·(2n－1)＝3n2(吨)．
令3n2≤150，∴1≤n≤5.
又∵n∈N*，∴1≤n≤7，即生产期限最长为7年．
答案：C高&考%资(源#网
11．(2012年山东省实验中学诊断性测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012－5＝ ( )
A．2 018×2 012 B．2 018×2 011
C．1 009×2 012 D．1 009×2 011
解析：结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2.
所以a2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋＝2 011×1 009.故选D.
答案：D
12．(2012～2013学年河北省普通高三11月教学质量监测)已知数列满足：a1＝1，an＋1＝，(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ( )
A．λ>2 B．λ>3
C．λ<2 D．λ<3
解析：可得＝＋1，则＋1＝2，易知＋1＝2≠0，则＋1＝2n，可得bn＋1＝2n (n－λ)，则bn＝2n－1(n－1－λ)(n∈N*)，由bn＋1>bn，
得2n(n－λ)>2n－1(n－1－λ)，则λ0，
∴{lgan}是等差数列，
令Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)
∵Sm＝Sn，由二次函数的图象
得Sm＋n＝0.
答案：0
16．(2012年课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
解析：当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，
∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，
∴a2k－1＝a2k＋3，
∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830.
答案：1 830
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2012年山东济宁一模)等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2.
又a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b4＝8，b16＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得
则数列{bn}的前n项和
Sn＝nb1＋d＝2n＋×2＝n2＋n.
18．已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2.
(1)求证：{an}是等差数列．
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：(1)证明：①n＝1时，a1＝S1＝23.
②n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(25n－2n2)－[25(n－1)－2(n－1)2]＝27－4n，而n＝1适合该式．
于是{an}为等差数列．
(2)因为an＝27－4n，若an>0，则n<，
所以|an|＝ ，
当1≤n≤6时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝25n－2n2，
当n≥7时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)
＝S6－(Sn－S6)＝2n2－25n＋156，
综上可知Tn＝ .
19．(2013年宁夏银川月考)数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn－a＝1.
(1)求证数列{S}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>(m2－3m)对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
解：(1)∵2anSn－a＝1，∴当n≥2时，2(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)2＝1，
整理得，S－S＝1(n≥2)，又S＝1，
∴数列{S}为首项和公差都是1的等差数列．[来源:Ks5u.com]
∴S＝n，又Sn>0，∴Sn＝
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，又a1＝S1＝1适合此式
∴数列{an}的通项公式为an＝－
(2)∵bn＝＝＝－
∴Tn＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－＝
∴Tn≥，依题意有＞(m2－3m)，解得－12 013的n的最小值．
解：(1)证明：因为Sn＋n＝2an，
所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．
两式相减得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，
所以数列{an＋1}为等比数列，公比为2.
因为Sn＋n＝2an，
令n＝1得a1＝1，a1＋1＝2，
所以an＋1＝2n，
即an＝2n－1.
(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，
所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
①－②得：
－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1
＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若>2 013，
则>2 013，
即2n＋1>2 013.
由于210＝1 024,211＝2 048，
所以n＋1≥11，即n≥10.
所以满足不等式>2 013的n的最小值是10.
22．(2013届浙江省重点中学协作体高三摸底)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2且n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项之和为Sn，求Sn，并证明：>2n－3.
解：(1)∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，
∴＝＋1，即－＝1(n≥2，且n∈N*)，
所以，数列是等差数列，公差d＝1，首项，
于是＝＋(n－1)d＝＋(n－1)·1＝n－，
∴an＝·2n.
(2)∵Sn＝·21＋·22＋·23＋…＋·2n
∴2Sn＝·22＋·23＋·24＋…＋·2n＋1
以上两式相减得
－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－·2n＋1
＝2＋22＋23＋…＋2n－·2n＋1－1
＝－·2n＋1－1＝(3－2n)·2n－3，
Sn＝(2n－3)·2n＋3>(2n－3)·2n，
∴>2n－3.
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