2013高考试题解析分类汇编（理数）2：函数 一、选择题  ．（2013年高考江西卷（理））函数y=ln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] B 考查函数的定义域。要使函数有意义，则，即，解得，选B.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若,则函数的两个零点分别位于区间( ) A.和内 B.和内 C.和内 D.和内 A 【命题立意】本题考查二次函数的图像与性质以及函数零点的判断。因为，，，又，所以，即函数的两个零点分别在和内，选A.  ．（2013年高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) A 曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1] 考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项 当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立 由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确 当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确 综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确  ．（2013年高考新课标1（理））已知函数,若||≥,则的取值范围是 A. B. C. D. D 由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，  由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]。故选D ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设,则 （　　） A． B． C． D． D 因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72， 因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23， 因为，， 所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））函数的反函数 (A) (B) (C) (D) A 设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0， x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选A．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为正实数,则 A. B. C. D. D ：因为as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，满足上述两个公式，故选D．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数为奇函数,且当时,,则 (A)  (B) 0 (C) 1 (D) 2 　A 因为函数为奇函数，所以，选A.  ．（2013年高考陕西卷（理））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是  (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] C 【KS5U解析】设矩形高为y, 由三角形相似得: 利用线性规划知识解得，选C ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））的最大值为( ) A.9 B. C. D. B 本题考查函数的最值以及基本不等式的应用。当时，，当时，。所以，当且仅当，即时去等号。选B. ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数的定义域为,则函数的定义域为 (A) (B) (C) (D) B 因为原函数的定义域为（﹣1，0）， 所以﹣1＜2x﹣1＜0，解得﹣1＜x＜． 所以则函数f（2x﹣1）的定义域为． 故选B．  ．（2013年高考陕西卷（理））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （　　） A．[-x] = -[x] B．[2x] = 2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y] D 【KS5U解析】代值法。 对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。 对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B选项为假。 对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C选项为假。 故D选项为真。所以选D ．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 B 本题考查函数与方程的应用以及函数图象的应用。因为，所以作出函数与的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个，选B. ．（2013年高考四川卷（理））函数的图象大致是( )  C 当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，所以，故排除B； 对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C； 因为y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大， 所以x→+∞，→0，所以D不正确，A正确，故选A． ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则 (A) (B) (C) (D) B C 顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=，选C. ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( ) A .  B. C. D. C C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C． ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是 (A)3 (B)4 (C) 5 (D)6 A 使用代值法。 设.  . 所以选A ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 B 在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象可知零点个数为2个，选B.  ．（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)= A. B.  C.  D.  D 函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x， 而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称， 所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1． 故选D． 二、填空题 ．（2013年高考上海卷（理））方程的实数解为________ . 【解答】原方程整理后变为． ．（2013年高考上海卷（理））对区间I上有定义的函数,记,已知定义域为的函数有反函数,且,若方程有解,则 . 【解答】根据反函数定义，当时，；时，，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有． ．（2013年高考湖南卷（理））设函数 (1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为____. (2)若______.(写出所有正确结论的序号) ① ② ③若 (1) (2)①②③ 本题考查函数与方程以及命题的真假判断。(1)由题意知,所以方程可化为,即又,所以当时此时;当时,无解.所以的零点的取值集合为. ①令， 则，因为所以， 即，所以是单调递减函数，所以在上， 又， 所以 ②又因为是单调递减函数，所以在一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边. ③由余弦定理易知,即,又，且连续，所以故①②③都正确。 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.  因为是定义在上的奇函数，所以易知时， 解不等式得到的解集用区间表示为 ．（2013年高考上海卷（理））设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________ . 【解答】，故；当时， 即，又，故． 三、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,其中,区间 (Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为); (Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值. 解: (Ⅰ).所以区间长度为. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, .  所以. ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分. 已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”. (1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标; (2)求函数 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). (1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.
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