数学
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数学能力训练（26）
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1．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝， tan β＝－，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0，
∴0<α<，<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
2.已知函数f(x)＝tan(2x＋)．设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
解：由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0. ∴1＝2(cos α－sin α) 2．
∴1=2(cos2α-2sin αcos α+ sin 2α) ,1=2(1-sin2 α)
∵α∈(0，)，∴sin2 α=
∴2α＝. 即α＝.
3．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α、β∈，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． －π
4已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值；
(2)求β.
解 (1)由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝×＝4.
于是tan 2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
5已知函数f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值.
解 (1)因为f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x
＝cos2x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，
所以最小正周期T＝π.
(2)由f(α)＝1，得2sin＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋∈，
所以2α＋＝或2α＋＝，故α＝或α＝.
6 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值．
解 (1)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝.
又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1，
a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
故cos(α－β)＝＝＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
又∵sin β＝－，－<β<0，∴cos β＝.
故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
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